[tex]\begin{array}{l} 2e^{2x + 2} = 8 \\ e^{2x + 2} = 4 \\ e^{2x + 2} = e^{\ln 4} \\ 2x + 2 = \ln 4 \\ 2x = \ln 4 - 2 \\ x = \frac{{2\ln 2}}{2} - 1 \\ \underline{\underline {x = \ln 2 - 1}} \\ \end{array}[/tex]
Mitt spørsmål er, hvilken regel bruker en når en går fra andre linje til tredje linje i mitt regnestykke?
logaritme likninger
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Du bruker at [tex]a=e^{\ln{a}}[/tex] for en konstant a, som er en direkte konsekvens av definisjonen til logaritmiske funksjoner.
Det er ofte lurt å tenke seg at når du har logaritmen av a i base b, "Hva må jeg opphøye b i for å få a?" Nettopp logaritmen av a i base b.
I ditt tilfelle er a=4, og b=e
Det er ofte lurt å tenke seg at når du har logaritmen av a i base b, "Hva må jeg opphøye b i for å få a?" Nettopp logaritmen av a i base b.
I ditt tilfelle er a=4, og b=e
-
Thor-André
- Ramanujan
- Posts: 250
- Joined: 23/09-2007 12:42
hmm, takk for svar! men er det mulig å formulere det anderledes, som kanskje kan føre til forståelse til hvorfor det er slik?
Tenk deg funksjonen
[tex]y=b^x[/tex]
Logaritmefunksjonen i base b er definert som den inverse funksjonen til et eksponentialfunksjon på denne formen, (hvor begge er en-til-en funksjoner).
Altså, siden [tex]y=b^x[/tex], så er [tex]\log(y)=\log(b^x)[/tex]
Og siden vi har definert den slik at den er den inverse funksjonen vil dette være ekvivalent med
[tex]\log(y)=x[/tex]
Hvis vi nå reverserer operasjonen vår ved å sette at
[tex]b^{\log(y)}=b^x [/tex]
Men vi vet at [tex]b^x=y[/tex], derfor er [tex]b^{\log(y)}=y[/tex]
Da har vi regelen du er ute etter. Det er viktig å vite at den naturlige logaritmen er logaritmen i base e!
[tex]y=b^x[/tex]
Logaritmefunksjonen i base b er definert som den inverse funksjonen til et eksponentialfunksjon på denne formen, (hvor begge er en-til-en funksjoner).
Altså, siden [tex]y=b^x[/tex], så er [tex]\log(y)=\log(b^x)[/tex]
Og siden vi har definert den slik at den er den inverse funksjonen vil dette være ekvivalent med
[tex]\log(y)=x[/tex]
Hvis vi nå reverserer operasjonen vår ved å sette at
[tex]b^{\log(y)}=b^x [/tex]
Men vi vet at [tex]b^x=y[/tex], derfor er [tex]b^{\log(y)}=y[/tex]
Da har vi regelen du er ute etter. Det er viktig å vite at den naturlige logaritmen er logaritmen i base e!
-
Thor-André
- Ramanujan
- Posts: 250
- Joined: 23/09-2007 12:42
takk for kjapt og godt svar! 
litt vanskelige ord her og der, "base" "invers" men men, tror kanskje jeg skjønte det...
litt vanskelige ord her og der, "base" "invers" men men, tror kanskje jeg skjønte det...
Du kan tenke deg at en invers funksjon er en "motsatt" funksjon. F.eks er å gange med en konstant det motsatte av å dividere med en konstant.
Eller at å kvadrere er det motsatte av å ta kvadratroten (men det betyr IKKE at den inverse funksjonen til [tex]y=x^2[/tex] er [tex]y=\sqrt{x}[/tex])
Du har mest sannsynlig vært borti logaritmer i base 10 og i base e. Dette er bare konstanter som egentlig kan være et hvilket som helst reelt tall med unntak av 1, 0 og negative tall.
Eller at å kvadrere er det motsatte av å ta kvadratroten (men det betyr IKKE at den inverse funksjonen til [tex]y=x^2[/tex] er [tex]y=\sqrt{x}[/tex])
Du har mest sannsynlig vært borti logaritmer i base 10 og i base e. Dette er bare konstanter som egentlig kan være et hvilket som helst reelt tall med unntak av 1, 0 og negative tall.