Sammensatte funksjoner

[Wentworth]

Oppgave a)

La
[tex]g(x)=x^2[/tex]
[tex]u(x)=\sqrt{x}[/tex]
[tex]f(x)=g(u(x))[/tex]

Det forutsettes at [tex]x>0[/tex],og at u er en deriverbar funksjon.


Spørsmål:

a) Bruk kjerneregelen til å finne [tex]f`(x)[/tex] uttrykt ved x og [tex](\sqrt{x})`[/tex]

b) Vis at [tex]f(x)=x[/tex], og bruk dette til å finne[tex]f`(x)[/tex].

c) Bruk oppgave a og b til å vise at
[tex](\sqrt{x})`=\frac{1}{2\sqrt{x}[/tex]

[Vektormannen]

a) Kjerneregelen sier at [tex]f^\prime(x) = g^\prime(u) \cdot u^\prime(x)[/tex]. Da er det bare å derivere u og g(u) hver for seg og så multiplisere de deriverte uttrykkene. Å derivere g(u) får du sikkert til. For å derivere u må du huske på at [tex]\sqrt x = x^{\frac 1 2}[/tex].

b) Uttrykk f(x) ved funksjonsuttrykkene til g og u.

EDIT: Gjorde en skammelig feil. Har rettet det nå.
EDIT2: Fikset litt forvirrende notasjon.

[Wentworth]

Ok, a)

Siden [tex]f`(x)=g`(u(x))*u`(x)[/tex]

Der [tex]g`(u(x))[/tex] gir [tex]x^2[/tex]som gir [tex]2x[/tex]

og der [tex] u`(x) [/tex] gir [tex](\sqrt{x})`[/tex]

Dette gir :

[tex]f`(x)= g`(u(x))*u`(x)[/tex]
[tex]f`(x)=2\sqrt{x}*(sqrt{x})`[/tex]

Jeg tror jeg surrer med no her...

[Vektormannen]

EDIT: Nei vet du hva, her surret du ikke litt i det hele tatt. Jeg så ikke derivasjonstegnet bak [tex](\sqrt x)^\prime[/tex]! Det er helt korrekt. Bare fortsett fra der du har kommet, altså med å derivere [tex]\sqrt x[/tex]. Deretter multipliserer du.

[Wentworth]

Fasiten for oppagave a) er :

[tex]f`(x)=2\sqrt{x}*(\sqrt{x})`[/tex]

Men jeg skjønner ikke hvordan 2 tallet kom bak kvadratroten.Det er kanskje en kjerneregel hvis det står [tex]x^2[/tex] så er [tex]2 *g(x)[/tex],altså [tex]2*u(x)[/tex] som blir [tex]2\sqrt{x}[/tex]

[zell]

[tex]g^,(u(x)) = ((u(x))^2)^, = 2(u(x))[/tex]

Følgelig får vi: [tex]f^,(x) = 2u(x) \ \cdot \ (u(x))^, = 2\sqrt{x} \ \cdot \ (\sqrt{x})^,[/tex]

[Wentworth]

Aha,så hvis [tex]g(x)=x^3[/tex] Da hadde jeg fått [tex]3\sqrt{x}*(\sqrt{x})^\prime[/tex]

[zell]

Nei. Ser du hvorfor?

[tex]\sqrt{x} = u[/tex]

Deriver u^3

[Wentworth]

er det fordi 3-1 = 2 når det gjelder potensregning? så da blir det 2 tall bak da selom det er x^3,sant?

[Vektormannen]

3-1=2 gjelder da alltid ... Når du deriverer en potens bruker du følgende regel: [tex][a^b]^\prime = b \cdot a^{b-1}[/tex]

[Wentworth]

[tex]3\sqrt{x}^2=3x[/tex]

[tex]3\sqrt{x}=3[/tex]

[Wentworth]

Så for å repetere dette :
[tex]f^\prime(x)=g^\prime(u(x)) \cdot u^\prime(x)[/tex]Siden [tex]g(x)=x^2[/tex] er...
[tex]f^\prime(x)=2\sqrt{x} \cdot (\sqrt{x})^\prime[/tex] 2 tallet fra [tex]g= x^2[/tex] Dette stemmer!

[zell]

Ser ut som du prøver å pugge dette, uten og i det hele tatt forstå hva som foregår. Det lønner seg nok ikke i lengden.

[Wentworth]

Prøver bare å forstå lengden.Men jeg holder meg til bredden for det ...Men du skjønte hva jeg mente?Det tror jeg er riktig?

[Vektormannen]

Det som er problemet med å bare lære enkelt-tilfeller er at du kan sitte med en oppgave som kan være litt annerledes, men som du ikke skjønner en døyt av fordi du ikke kjenner igjen noen forhåndslærte mønster og "regler" fra det du har pugget.