Eksponentiallikning

[adastra]

[tex]3 \cdot e^x=7 \cdot e^{-x}[/tex]
Rydder opp i likningen og får:
[tex](e^x)^2=\frac{7}{3}[/tex] finner røttene på begge sider
[tex]e^x= \pm\sqrt {\frac{7}{3}}[/tex] fører til at [tex]x=ln \sqrt {\frac{7}{3}}[/tex]
Vet jo at e^x ikke kan bli et negativt, men finnes det noen metoder (med komplekse tall eller noe lignende?) der man kan løse [tex]e^x=-\sqrt {\frac{7}{3}}[/tex]?

[fish]

Innenfor kompleks funksjonsteori har man kompleks logaritmefunksjon:

For [tex]z\ne 0[/tex]:

[tex]\ln(z)=\ln |z|+i\arg(z)[/tex]

For den grenen av logaritmen der [tex]-\pi<arg(z)\leq \pi[/tex] har vi for eksempel

[tex]\ln\left(-\sqrt{\frac{7}{3}}\right)=\ln\left|\sqrt{\frac{7}{3}}\right|+i\pi[/tex]

For å finne alle løsningene av likningen [tex]e^x=-\sqrt{\frac{7}{3}}[/tex], må man også bruke periodisiteten til eksponensialfunksjonen, altså
[tex]e^{x+2k\pi i}=e^x[/tex]