Mer Trigenometri VK2 (VG3)

[Beo]

Vil ikke virke krevende, men jeg har møtt et nytt problem..
2sin 2x + 2cos 2x = 0

Min første inskytelse var å dele alt på 2cos 2x, men ved et nærmere inblikk trur jeg dette er feil. Kan noen hjelpe?
All hjelp er verdsatt.
Takker på forhånd.

[mrcreosote]

Du kan dele på hva du måtte ønske bare det ikke er 0. Derfor kan du først anta at cos(2x)=0 og se hva som skjer med ligninga da. Deretter antar du at cos(2x) ikke er 0, da er det trygt å dele som du hadde tenkt til.

Edit: Oops.

[Charlatan]

Ved å dele på cos(2x) antar du at cos(2x) aldri er 0, som den kan være. Du kan her substituere 2x med u, og så bruke den vanlige metoden for å få uttrykket over på et sinus\cosinus uttrykk med faseforskyvning.
Når jeg tenker meg om er denne metoden litt overflødig hvis du ikke har noen konstanter som ledd i likningen.

[Olorin]

[tex]2\sin(2x)+2\cos(2x)=0[/tex]

[tex]2\sin(2x)=-2\cos(2x)[/tex]

[tex]\frac{2\sin(2x)}{\cos(2x)}=-2[/tex]

[tex]\tan(2x)=-1[/tex]

Dette skulle vel gi rett svar?

[Charlatan]

Nei, man må sette cos(2x) utenfor. For tan(u) er 0 hvis og BARE HVIS når sin(u) er 0. Man går altså "glipp" av mulige x-verdier hvor likningen tilfredsstilles.

[Olorin]

ok, men plott inn tan(2x)+1 og den andre ligningen på graph og se hva du får.

[Charlatan]

Dette er en tilfeldighet. Siden uttrykket du får er [tex]\cos(2x)(\tan(2x)-1)=0[/tex] Ikke er definert når [tex]\cos(2x)[/tex] er null, vil [tex]\tan(2x)-1=0[/tex] være eneste løsning.

[daofeishi]

Olorin sin metode er helt OK. Det eneste man må passe på, er at man ikke mister noen løsninger når man deler på cos(2x). Dette ser man ikke vil skje, siden sin(u) og cos(u) aldri er 0 samtidig.

En annen mulighet er å skrive om uttrykket slik:
[tex]2\sin(2x) + 2\cos(2x) = \sqrt{8}\left( \frac{1}{\sqrt 2} \sin(2x) + \frac{1}{\sqrt 2} \cos(2x) \right) = \sqrt 8 \left( \cos( \frac \pi 4 ) \sin (2x) + \sin(\frac \pi 4 ) \cos(2x) \right) = \sqrt 8 \sin(2x + \frac \pi 4 )[/tex]

[Olorin]

ser du har "brukt":

[tex]a\sin(x)\pm b\cos(x)=\sqr{a^2+b^2}\,\sin\left(x\pm\arctan(\frac{b}{a})\right)[/tex]