Tallteori: Delelig med 4

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Tallteori: Delelig med 4

Innlegg Ice » 19/10-2007 00:59

daofeishi skrev:
Delelig med 4: Bevis at [tex]f(n) = 3^{n} - (-1)^n[/tex] er delelig med 4 for alle naturlige n


Ser at det er sant for [tex] n=1[/tex]

Antar at [tex]3^{n} - (-1)^n = 4k[/tex]

Vi må nå vise at dette gjelder for alle tall; n+1

[tex] f(n+1)=3^{n+1} - (-1)^{n+1}= 3\cdot3^{n}-((-1)^{1}(-1)^{n})[/tex]
[tex] = 3\cdot3^{n}+(-1)^{n}= 3\cdot3^{n}+4(-1)^{n}-3(-1)^{n}[/tex]
[tex]= 3(3^{n}-(-1)^{n})+4(-1)^{n} = 3(4k)+4(-1)^{n}[/tex]
[tex]= 4(3k+(-1)^{n})[/tex]

Og vi er i mål :wink:
Èg er Islendingur :P
Ice offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 79
Registrert: 13/01-2006 23:34
Bosted: Trøndelag

Innlegg daofeishi » 19/10-2007 12:41

Kjempeflott! Det stemmer. Der var formodningen bevist ved matematisk induksjon. Nå er det åpent for andre å komme med flere beviser.
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg Magnus » 19/10-2007 14:48

Legg merke til at 3 == -1 (mod 4)!
Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg fbhdif » 19/10-2007 16:13

Denne løser seg vel strengt tatt selv?

3==3==-1 mod 4

3^n==(-1^n) mod 4
3^n-(-1^n)= 0mod 4 => 4|(3^n-(-1)^n)

?
fbhdif offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 74
Registrert: 22/03-2007 17:48

Innlegg Magnus » 19/10-2007 18:14

Ja
Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg daofeishi » 20/10-2007 03:44

Jada, null problem med modulær aritmetikk, men et slikt tallteoretisk verktøy er det jo ikke alle som kjenner til. Nok en løsning følger fra faktorisering:

[tex]3^n - (-1)^n = (3 - (-1))(3^{n-1} + 3^{n-2}(-1) + ... + (-1)^{n-1}) = 4k[/tex]
Sist endret av daofeishi den 20/10-2007 03:46, endret 1 gang
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg Magnus » 20/10-2007 03:45

Når folk er våkne i Kina, bør det vel bli på tide å komme seg i seng i Norge, eller?;)
Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg daofeishi » 20/10-2007 03:51

Ja, hvis ikke døgnrytmen din i utgangspunktet befinner seg i kinesisk tidssone. Det kjenner jeg godt til, som det B-mennesket jeg er. ;)
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 8 gjester