Heisann. Lurer litt på om jeg tenker rett, eller om det er tilfeldig at jeg får rett svar...
[tex]2cosx+sinx=2[/tex]
[tex](2cosx-sinx)^2 = 2^2[/tex]
[tex]4cos^2 x + 4sinxcosx + sin^2 x = 4[/tex]
[tex]4cos^2 x + 4sinxcosx + sin^2 x = 4sin^2 x + 4cos^2 x[/tex]
[tex]3tan^2 x + 4tanx = 0[/tex]
[tex]tanx_1 = 0[/tex]
[tex]x_1 = 0[/tex]
[tex]tanx_2 = -1,33333[/tex]
[tex]x_2 = -0,927 + 2 \pi n[/tex]
[tex]n = 1 gir [/tex]
[tex]x_2 = -0,927 + 2 * \pi * 1 = 5,36[/tex]
Har jeg funnet [tex]X_2[/tex] på rett måte? eller var det bare en tilfeldighet?
Trigonometrisk likning
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Fin og kreativ løsning! Du tok metoden fra i går og videreutvikla den, veldig bra. Tror ikke det er denne måten den løses på i skolen, der er det vel omskrivning til en rein cosinusfunksjon (bekreftelse noen?), men denne er vel så god syns nå jeg.
Hvis du mener 2cos x-sin x stemmer det, hvis 2cos x+sin x er det en liten fortegnsfeil tror jeg. Husk også at du bare legger til pi*n etter å ha løst en grunnligning i tangens.
Hvis du mener 2cos x-sin x stemmer det, hvis 2cos x+sin x er det en liten fortegnsfeil tror jeg. Husk også at du bare legger til pi*n etter å ha løst en grunnligning i tangens.
Jada, dette ser ut til å stemme, men pass på fortegnene. Fin løsning! Bare husk når du kvadrerer en likning at du kan ende opp med falske løsninger.
En annen mulighet er å skrive om:
[tex]2\sin(x) + \cos(x) \equiv \sqrt{5}\cos\left(x - \arctan(\frac 1 2) \right)[/tex]
Dette leder kjapt til likningen
[tex]\cos \left(x - \arctan(\frac 1 2) \right) = \cos \left(\arctan(\frac 1 2) \right)[/tex]
som heller ikke er alt for ille å hanskes med.
Dette er også skolemetoden som mrcreosote nevner over
Edit: endret fortegnsfeil
En annen mulighet er å skrive om:
[tex]2\sin(x) + \cos(x) \equiv \sqrt{5}\cos\left(x - \arctan(\frac 1 2) \right)[/tex]
Dette leder kjapt til likningen
[tex]\cos \left(x - \arctan(\frac 1 2) \right) = \cos \left(\arctan(\frac 1 2) \right)[/tex]
som heller ikke er alt for ille å hanskes med.
Dette er også skolemetoden som mrcreosote nevner over
Edit: endret fortegnsfeil
Last edited by daofeishi on 17/10-2007 18:25, edited 1 time in total.
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Stemmer, det er standarden. Jeg veit hva jeg foretrekker!
Takk for hjelpen Stygg forglemmelse at jeg ikke tok [tex]\pi +n[/tex] i stedet for [tex]2\pi n[/tex]
Så denne fremgangsmåten kan jeg bruke på alle slike typer likninger?
Hvor kan jeg finne teori om den standarden? Skjønte ikke stort av omskrivingen.
Stygg forglemmelse at jeg ikke tok [tex]\pi +n[/tex] i stedet for [tex]2\pi n[/tex]Så denne fremgangsmåten kan jeg bruke på alle slike typer likninger?
Hvor kan jeg finne teori om den standarden? Skjønte ikke stort av omskrivingen.
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Ligninger av typen [tex]a\sin x+b\cos x=c[/tex] kan vel generelt løses på denne måten, men som daofeishi sier må du sette prøve på svara til slutt. Du kan jo prøve den andre metoden (som sannsynligvis er beskrevet i boka di) og se hva du foretrekker.
Jeg finner ikke noen god side på nettet - men jeg skal vise deg tankeganger rundt omformingen over.
Vi er altså gitt summen [tex]S = 2\sin(x) + 1\cos(x)[/tex]
Tenk deg en rettvinklet trekant med kateter av lengde 2 og 1. Da har hypotenusen lengde [tex]\sqrt 5[/tex]
Skriv så om uttrykket over:
[tex]S = \sqrt{5} \left( \frac{2}{\sqrt 5}\sin(x) + \frac{1}{\sqrt 5}\cos(x) \right)[/tex]
Se tilbake på trekanten din. Der finnes det en vinkel [tex]\theta[/tex] slik at [tex]\cos (\theta) = \frac{2}{\sqrt 5}[/tex] og [tex]\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt 5}[/tex]. Denne vinkelen ser du er [tex]\theta = \arctan( \frac 1 2)[/tex]
Nå kan du skrive uttrykket slik:
[tex]S = \sqrt{5} \left( \cos( \theta)\sin(x) + \sin(\theta)\cos(x) \right)[/tex]
Og her kjenner du kanskje igjen en vinkelsumformel?
[tex]S = \sqrt{5}\cos(\theta-x) = \sqrt{5}\cos(\arctan( \frac 1 2 )-x) [/tex]
(Om du vil, og du ser sikkert at jeg benytta meg av det over, kan du bruke at cos(-x) = cos(x). og skrive [tex]S = \sqrt{5}\cos(x-\arctan( \frac 1 2 ))[/tex]
Vi er altså gitt summen [tex]S = 2\sin(x) + 1\cos(x)[/tex]
Tenk deg en rettvinklet trekant med kateter av lengde 2 og 1. Da har hypotenusen lengde [tex]\sqrt 5[/tex]
Skriv så om uttrykket over:
[tex]S = \sqrt{5} \left( \frac{2}{\sqrt 5}\sin(x) + \frac{1}{\sqrt 5}\cos(x) \right)[/tex]
Se tilbake på trekanten din. Der finnes det en vinkel [tex]\theta[/tex] slik at [tex]\cos (\theta) = \frac{2}{\sqrt 5}[/tex] og [tex]\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt 5}[/tex]. Denne vinkelen ser du er [tex]\theta = \arctan( \frac 1 2)[/tex]
Nå kan du skrive uttrykket slik:
[tex]S = \sqrt{5} \left( \cos( \theta)\sin(x) + \sin(\theta)\cos(x) \right)[/tex]
Og her kjenner du kanskje igjen en vinkelsumformel?
[tex]S = \sqrt{5}\cos(\theta-x) = \sqrt{5}\cos(\arctan( \frac 1 2 )-x) [/tex]
(Om du vil, og du ser sikkert at jeg benytta meg av det over, kan du bruke at cos(-x) = cos(x). og skrive [tex]S = \sqrt{5}\cos(x-\arctan( \frac 1 2 ))[/tex]
Syns jeg har vært borti den oppgaven før. Og en alternativ måte er
[tex]a\sin x+b\cos x=[b,a]\cdot [cos x,sin x]=\sqrt{b^2+a^2}\cdot 1\cdot \cos{(x-t)}[/tex]
Hvis vi tegner opp begge vektorene i samme enhetssirkel ser vi at tan t = a/b.
[tex]a\sin x+b\cos x=[b,a]\cdot [cos x,sin x]=\sqrt{b^2+a^2}\cdot 1\cdot \cos{(x-t)}[/tex]
Hvis vi tegner opp begge vektorene i samme enhetssirkel ser vi at tan t = a/b.