Grenseverdi

[Frank KJ]

Jeg er ikke sikker på hvor jeg skulle poste dette, men valgte å gjøre det her på VGS-forumet.
Klarer noen å finne grenseverdien til

[tex]\lim_{v\to\infty}\frac{v\sqrt{\sqrt{v^4+4g^2l^2}-v^2}}{\sqrt{2}g}[/tex]

der g (9.81) og l er konstanter.

Grafisk så ser vi at grenseverdien går mot l. Mulig å bevise dette?

[daofeishi]

Jada, dette går fint an å vise:


[tex]\lim _{v \to \infty} \frac{v\sqrt{\sqrt{v^4+4g^2l^2}-v^2}}{\sqrt{2}g} \qquad = \qquad \lim _{v \to \infty} \frac{v\sqrt{\sqrt{v^4+4g^2l^2}-v^2}}{\sqrt{2}g} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{v^4+4g^2l^2}+v^2}}{\sqrt{\sqrt{v^4+4g^2l^2}+v^2}} \\ = \qquad \lim _{v \to \infty}\frac{\sqrt{2}lv}{\sqrt{\sqrt{v^4 + 4 g^2l^2}+v^2}} \qquad = \qquad \lim _{v \to \infty} \frac{\sqrt{2}l}{\sqrt{\sqrt{1+\frac{4g^2l^2}{v^4}}+1}} \qquad = \qquad \frac{\sqrt 2 l}{\sqrt 2} \qquad = \qquad l[/tex]

[arildno]

Jeg er ikke sikker på hvor jeg skulle poste dette, men valgte å gjøre det her på VGS-forumet.
Klarer noen å finne grenseverdien til

[tex]\lim_{v\to\infty}\frac{v\sqrt{\sqrt{v^4+4g^2l^2}-v^2}}{\sqrt{2}g}[/tex]

der g (9.81) og l er konstanter.

Grafisk så ser vi at grenseverdien går mot l. Mulig å bevise dette?

Eventuelt kan vi vise det slik:
[tex]\frac{v\sqrt{\sqrt{v^4+4g^2l^2}-v^2}}{\sqrt{2}g}=\frac{v^{2}\sqrt{\sqrt{1+\frac{4g^2l^2}{v^{4}}}-1}}{\sqrt{2}g}\approx\frac{v^{2}}{\sqrt{2}g}\sqrt{1+\frac{4g^{2}l^{2}}{2v^{4}}-1}=\frac{v^{2}}{\sqrt{2}g}\sqrt{\frac{2g^{2}l^{2}}{v^{4}}}=l,\frac{4g^2l^2}{v^{4}}<<1[/tex]

[Frank KJ]

Jeg må bare smile ! Ble litt mye kvadrering og kvadratrøtter, men jaggu kom l'en ut tilslutt!

[Frank KJ]

Forresten, dette er en formel som beskriver radiusen uttrykkt ved farten til snurrende pendler sett ovenifra.