buelengde

[Sasha]

Find the length of one arc of the cycloid [tex]x=a(\theta-sin\theta)[/tex] ,
[tex]y=a(1-cos\theta)[/tex], [tex]0 < \theta < 2\pi[/tex]

[tex]L= \int_0^{2\pi} \sqrt{(\frac{dy}{d\theta})^2 +(\frac{dx}{d \theta})^2} d\theta [/tex]

[tex]L= \int_0^{2\pi} \sqrt{(a((sin\theta))^2 +(a(1-cos\theta))^2} d\theta [/tex]

[tex]L=a \int_0^{2\pi} \sqrt{sin^2 \theta +1-2cos\theta +cos^2 \theta} d\theta [/tex]

[tex]L=a\sqrt{2} \int_0^{2\pi} \sqrt{1-cos \theta} d\theta [/tex]

ganger med [tex]\frac{\sqrt{1+cos \theta}}{\sqrt{1+cos \theta}}[/tex]

og integrerer så får jeg:

[tex]L = 2a[\sqrt{2-2cos \theta}]_0^{2\pi}[/tex] og dette blir jo 0.. det blir feil.

[Sasha]

Edit:

blir

[tex]L = -2a[\sqrt{2+2cos \theta}]_0^{2\pi}[/tex]

blir jo feil dette og

[fish]

Husk at [tex]\sqrt{\sin^2\theta}=|\sin\theta|[/tex]

Det betyr at du bør integrere fra 0 til [tex]\pi/2[/tex] og multiplisere svaret med 4.

[Sasha]

ah ok, takk for et fint svar ser det rett ut ellers?

[fish]

Synes det ser korrekt ut.

Men jeg vil korrigere meg selv litt. Du bør integrere fra 0 til [tex]\pi[/tex] og så doble svaret.

Da blir vel svaret [tex]8a[/tex]