Logaritme likning

[kattiis]

Noen som kan forklare meg hvordan dette skal gjøres?

ln(x-1)^2 + ln(x^2-1) + ln(x+1)^2 = 0

Svaret skal være x= [symbol:rot] 2

[Janhaa]

[tex]2[\ln(x-1)\,+\,\ln(x+1)]\,+\,\ln(x^2-1)=0[/tex]
[tex]2\ln(x^2-1)\,+\,\ln(x^2-1)=0[/tex]
[tex]\ln(x^2-1)=0[/tex]
[tex]x^2-1=1[/tex]
[tex]x^2=2[/tex]
for x > 0
[tex]x=\sqrt2[/tex]

[kattiis]

[tex]2\ln(x^2-1)\,+\,\ln(x^2-1)=0[/tex]
[tex]\ln(x^2-1)=0[/tex]

Men hvordan blir den overgangen? bør ikke det der egentlig bli 3ln osv? :p

[arildno]

Noen som kan forklare meg hvordan dette skal gjøres?

ln(x-1)^2 + ln(x^2-1) + ln(x+1)^2 = 0

Svaret skal være x= [symbol:rot] 2

Fasit er ufullstendig.

Pkt. 1:
Vi må ha at argumentene for logaritmene er større enn null.
Den første og tredje logaritmen gir oss bare at x ikke kan være -1 eller 1, den andre at absoluttverdien av x må være større enn 1.

Logaritmeregelen [tex]\ln(a^{n})=n*ln(a)[/tex] gjelder bare under forutsetning a>0. For vilkårlig, ikke-heltallig reell n kan vi bare konsistent definere potens for a>=0, så forutsetningen for gyldighet av logaritme-regel er sammenfallende med implisitt krav på argumentet (altså ingen innskrenkning i praksis).
Imidlertid er det fullt mulig å definere konsistent heltallige potenser for vilkårlig a; spesielt gir dette at for partallige potenser, så kan grunntallet godt være negativt.

Dette gir følgende korrekte logaritmeregel:
[tex]\ln(a^{n})=n*\ln(|a|), n\neq{2}m,m\in\mathb{Z}\to{a}>0[/tex]
Altså, hvis n ikke er et partall impliseres det at "a" er større enn null, og logaritmeregelen sammenfaller med den forrige angitte.

Gitt dette moment, så følger det at [tex]x=-\sqrt{2}[/tex] også er en gyldig løsning av ligningen.