Båttur (cosinussetningen++)

[Olorin]

To båter kjører med jevn fart fra et punkt O som vist på figur:



Hvor fort endrer avstanden AB seg når OA=20 nautiske mil og OB = 15 nautiske mil

Har ingen fasit på oppgaven, har en noe tullete utregning selv og ser gjerne noen andre prøve seg på den!

[mrcreosote]

Ved tidspunktet t (målt i timer) har vi OA=15t og OB=20t. Da gir cosinussetninga [tex][x(t)]^2 = [AB(t)]^2 = (15^2+20^2)-2\cdot15t\cdot20t\cdot\cos\frac\pi3 = 325t^2[/tex] slik at [tex]\frac{\rm{d}x}{\rm{d}t}\equiv5\sqrt{13}[/tex].

[Olorin]

Er ikke dette for innlysende til å være rett? regner med du mente [(15t)^2+(20t)^2] ?

[mrcreosote]

Syns det virker greit bortsett fra et par manglende t-er. Det virker ikke urimelig at de beveger seg fra hverandre med samma fart hele tida i alle fall.

[Olorin]

Har sett mer på denne oppgaven og tror jeg har kommet i nærheten av et riktig svar:

[tex]y=OB=15[/tex]
[tex]x=OA=20[/tex]
[tex]z=AB[/tex]

Farten båten i OA har er 15t derfor er [tex]\frac{dx}{dt}=15[/tex] og båten i OB har farten [tex]\frac{dy}{dt}=20[/tex]

Skal derfor finne [tex]\frac{dz}{dt}[/tex] (Hvor fort z endrer seg når x=20 og y=15)

Setter opp uttrykket:

[tex]z^2=x^2+y^2-2xy\cdot \cos(60)=x^2+y^2-2xy\cdot\frac12[/tex]

[tex]z^2=x^2+y^2-xy[/tex]

Deriverer implisitt med henhold på t:

[tex]2z\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}-\left(y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt}\right)[/tex]

[tex]\frac{dz}{dt}=\frac{2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}-x\frac{dy}{dt}}{2z}[/tex]

Står igjen med uttrykket:

[tex]\frac{dz}{dt}=\frac{\frac{dx}{dt}(2x-y)+\frac{dy}{dt}(2y-x)}{2\sqr{x^2+y^2-xy}}[/tex]

[tex]\frac{dz}{dt}=\frac{15(2\cdot 20-15)+20(2\cdot 15-20)}{2\sqr{20^2+15^2-20\cdot 15}}=\frac{575}{10\sqr{13}}=\frac{115}{2\sqr{13}}\approx 15.94[/tex]