tror det er lett, men litt usikker på hvordan jeg skal angripe denne typen oppg:
Vis at [tex] n^5-n[/tex] er delelig med 5 for alle naturlige tall n.
bevis
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2-1)(n^2+1) = n(n+1)(n-1)(n^2+1)[/tex]
Kan gjøres med induksjon, men.. La:
n=5k --> 5|n
n=5k+1 --> 5|n-1
n= 5k+2 --> 5|n^2+1
n= 5k+3 --> 5|n^2 +1
n= 5k+4 --> 5|n+1
Evt bruk fermats lille teorem, da følger det (trivielt).
Kan gjøres med induksjon, men.. La:
n=5k --> 5|n
n=5k+1 --> 5|n-1
n= 5k+2 --> 5|n^2+1
n= 5k+3 --> 5|n^2 +1
n= 5k+4 --> 5|n+1
Evt bruk fermats lille teorem, da følger det (trivielt).
MAT-INF 1100? 
Er ganske ny på induksjonsbevis, men tror jeg løste denne oppgaven tidligere i dag. Er det noen logiske brister eller feil er det flott med tilbakemelding!
Skal vise at [tex]n^5-n[/tex] er delelig på 5 for alle naturlige tall.
Vi sjekker med n=1 og n=2 og ser at dette stemmer.
Generelt har vi da at [tex]k^5-k[/tex] er delelig med fem. Vil da vise at dette gjelder for [tex]n=k+1[/tex]
[tex](k+1)^5-(k+1)[/tex]
Bruker binomialformelen for å gange ut parantesen som er opphøyd i 5:
[tex]k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-(k+1)[/tex]
[tex]k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-k-1[/tex]
Vi ser her at -1 går mot +1, og vi kan skrive:
[tex](k^5-k)+5k^4+10k^3+10k^2+5k[/tex]
Her har jeg flyttet -k slik at det står som andre ledd. Dette leddet kjenner vi igjen fra da vi satte n=k, ([tex]k^5-k[/tex]), og vi vet jo at dette uttrykket er delelig med fem. Som du ser er også alle de andre leddene delelige med 5 og dermed vil jeg tro vi har vist at [tex]n^5-n[/tex] er delelige med alle naturlige tall n.
Er ganske ny på induksjonsbevis, men tror jeg løste denne oppgaven tidligere i dag. Er det noen logiske brister eller feil er det flott med tilbakemelding!Skal vise at [tex]n^5-n[/tex] er delelig på 5 for alle naturlige tall.
Vi sjekker med n=1 og n=2 og ser at dette stemmer.
Generelt har vi da at [tex]k^5-k[/tex] er delelig med fem. Vil da vise at dette gjelder for [tex]n=k+1[/tex]
[tex](k+1)^5-(k+1)[/tex]
Bruker binomialformelen for å gange ut parantesen som er opphøyd i 5:
[tex]k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-(k+1)[/tex]
[tex]k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-k-1[/tex]
Vi ser her at -1 går mot +1, og vi kan skrive:
[tex](k^5-k)+5k^4+10k^3+10k^2+5k[/tex]
Her har jeg flyttet -k slik at det står som andre ledd. Dette leddet kjenner vi igjen fra da vi satte n=k, ([tex]k^5-k[/tex]), og vi vet jo at dette uttrykket er delelig med fem. Som du ser er også alle de andre leddene delelige med 5 og dermed vil jeg tro vi har vist at [tex]n^5-n[/tex] er delelige med alle naturlige tall n.
går ikke MAT-INF 1100, har nettopp startet på MA1101, etter en hard fadderperiode. Du bruker kanskje Tom Lindstrøm ( Kalkulus) du og hehe, ja ganske åpenbart når man ser løsningen:P, jeg trenger nok litt mer trening på induksjon
Fant enda en jeg sliter litt med og:
[tex] \frac{(2n)!}{2^nn!} [/tex]
skal vise at utrykket er et naturligtall for alle n >= 0
Fant enda en jeg sliter litt med og:
[tex] \frac{(2n)!}{2^nn!} [/tex]
skal vise at utrykket er et naturligtall for alle n >= 0
ser bra ut, men hva gjør du her? [tex]\frac{[2(n+1)]!}{2^{n+1}(n+1)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{2(n+1)}h_n [/tex]dischler skrev:[tex]h_n=\frac{(2n)!}{2^nn!}[/tex]
[tex]h_{n+1}=\frac{[2(n+1)]!}{2^{n+1}(n+1)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{2(n+1)}h_n=(2n+1)h_n[/tex]