Dobbeltpunkt

[Charlatan]

Gitt vektoren:

[tex]\vec{r}(t) = [t^3-12t,t^2+2t][/tex]

Kurven har et dobbeltpunkt som svarer til to ulike t-verdier. Finn disse verdiene.

Jeg har problemer med denne oppgaven. Hvordan skal man finne disse t-verdiene med regning?

[ettam]

Løs likningen:

[tex]t^3 - 12t = t^2 +2t[/tex]

[tex]t^3 - t^2 - 14t = 0[/tex]

[tex]t(t^2 - t - 14) = 0[/tex]

[tex]t = 0 \ \ [/tex] eller [tex]t = \frac{1 + \sqrt{57}}{2} \approx 4,27 \ \[/tex] eller [tex]t = \frac{1 - \sqrt{57}}{2} \approx -3,27[/tex]

[tex]t = 0 \ \ [/tex] gir punktet [tex] \ \ (0,0) \ \ [/tex] på kurven,

mens [tex]t = \frac{1 + \sqrt{57}}{2} \approx 4,27 \ \[/tex] og [tex]t = \frac{1 - \sqrt{57}}{2} \approx -3,27[/tex]
er de to t-verdiene oppgaven spør etter.

[Charlatan]

Det du nå har svaret for er hvor x og y verdiene er like. Det er ikke hva jeg er ute etter. Jeg er ute etter to t-verdier, som for begge ligningene gir likt svar.

Takk for svar likevel

[ettam]

Det har du rett i, skal tenke litt her på den. Men ikke mer i kveld dessverre...


Sjekka det raskt grafisk på lommeregneren og fikk t = -4 og t = 2

[Charlatan]

Hva jeg har gjort så langt:

Vi ser at vi trenger to forskjellige t verdier for som skal gjøre at begge likningene svar få like svar ( I deres respektive likning ).

Dermed må:
[tex]t^3-12t=s^3-12s , t \not = s[/tex]
Og
[tex]t^2+2t=s^2+2s , t \not=s[/tex]
Vi isolerer s:
[tex]t^2-s^2=-2(t-s)[/tex]
[tex](t+s)(t-s)=-2(t-s)[/tex]
Siden [tex]t \not = s[/tex] kan vi dele på (t-s)
[tex]t+s=-2[/tex]
[tex]s=-2-t = -(2+t)[/tex]

Vi setter så inn dette inn i det andre uttrykket:

[tex](-(2+t))^3+12(t+2)=t^3-12t[/tex]
[tex]-t^3-6t^2-12t-8 + 12t+24=t^3-12t[/tex]
[tex]2t^3+6t^2-12t-16=0[/tex]
Dette er en tredjegradslikning som jeg ikke vet hvordan man løser..
Jeg vet imidlertidig pga kalkulatoren at svarene er [tex]t=2, t=-4[/tex]
Men denne likningene har også svaret [tex]t=-1[/tex] som IKKE er en gyldig løsning..
Jeg regner med at den ugyldige løsningen ikke er et problem siden vi må sette prøve på svarene uansett.

Dette har visst kokt ned til en løsing av tredjegradslikning.. På grunn av at det oppstod en tredjegradslikning så tror ikke jeg dette er framgangsmåten som er meningen.

[Charlatan]

Dobbelpost

[=)]

bra regna jarle, dette er litt forbi mitt nivå. men jeg tenker og tenker og jeg (tror jeg) kan konkludere med at likheten du leter etter ikke er

[tex]t^3 - 12t = -(t^3 + 6t^2 - 16)[/tex]

men heller

[tex]t^3 - 12t = -(t^3 + 6t^2 - 16) = -16[/tex]

altså felles røttene til

[tex]t^3 - 12t + 16 = 0[/tex] og [tex]-(t^3 + 6t^2 - 32) = 0[/tex]

som er en særdeles ond oppgave.
(jeg kan overføre tredjegradslignings programmet neste gang vi møtes kanskje?)