Drøfting sinus funksjon

[crea]

Hei!

Har store problemer med drøftingen av en sinus funksjon, om temperatur.
Klarer ikke å finne nullpunktene, eller topp-/bunnpunkter.
Klarer å derivere den, men stort mer enn det klarer jeg ikke.

Oppgaven er som følger:

Meteorologene i Roma registrerte temperaturen i byen over to hele døgn i oktober høsten 2006. Målingene startet klokka 10 på formiddagen den 12.oktober og ble avsluttet 48 timer senere, klokka 10 den 14.oktober. Med god tilnærming fant meteorologene ut at funksjonen T(t) under beskrev temperaturen T etter t antall timer. Alle temperaturer er i grader celsius.

T(t)= 2sin(( [symbol:pi] /12t)-6)+1/10t+15
Definisjonsmengden er [0,48].

a) Skisser grafen til T og finn temperaturen i Roma klokken 18, den 13. oktober 2006.

b) Vis ved regning at T'(t)= [symbol:pi] /6cos(( [symbol:pi]/12 t)-6)+1/10

c) Løs likningen T'(t) = 0 ved regning bruk resultatet til å regne ut den laveste temperaturen i måleperioden. Når inntreffer denne temperaturen?

d) Regn ut [symbol:integral] T(t)dt.

e) Benytt svaret i d) til å beregne gjennomsnittstemperaturen i måleperioden.


Håper noen kan hjelpe meg med dette, og vise meg hvordan utregningen er, spesielt på oppgave c og d.

[/tex]

[Olorin]

d)

[tex]I = \int 2\sin(\frac{\pi}{12}t-6)+\frac1{10}t+15 dt[/tex]

Deler opp integralet (+ og -)

[tex] I_1=\int 2\sin(\frac{\pi}{12}t-6)dt[/tex]

setter [tex] u = \frac{\pi}{12}t-6 \ \ u^, = \frac{\pi}{12} \ \ \frac{du}{dt} = \frac{\pi}{12} \ \Rightarrow \ dt = \frac{12}{\pi}du[/tex]


[tex]I_1=2\int \sin(u)\cdot \frac{12}{\pi}du = \frac{24}\pi\cdot-\cos(u)+C = -\frac{24}\pi \cos(\frac{\pi}{12}t-6)+C [/tex]

[tex]I_2=\int \frac1{10}t+15 = \frac1{20}t^2+15t + C[/tex]

[tex]\int 2\sin(\frac{\pi}{12}t-6)+\frac1{10}t+15 dt =I_1+I_2= -\frac{24}\pi \cos(\frac{\pi}{12}t-6) +\frac1{20}t^2+15t + C[/tex]

[Olorin]

c)

[tex]T^,(t)=\frac\pi6 \cos(\frac\pi{12}t-6)+\frac1{10} = 0 \ |\ - \frac1{10} \ | \ \cdot \frac6\pi[/tex]

[tex] cosu = -\frac6{10\pi} \ \Rightarrow \ cos^{-1}(-\frac6{10\pi}) = 1.76[/tex]

[tex] \frac\pi{12}t-6 = \pm 1.76+2\pi\cdot n[/tex]

[tex] t = 29.64+24\cdot n[/tex]

[tex] t = 16.19 +24\cdot n[/tex]

[tex]t = 5.65, 16.19, 29.64, 40.18[/tex]

Laveste temperatur får du av t = 16.18 (bare plott inn de forskjellige verdiene eller se graf)

[tex]T(16.19)= 14.65^{\circ}[/tex]

Målingen startet kl 10:00 12.okt --> 10+16.19 = 26.19 --> (13.oktober kl 02:(0.19*60) 02:11)

[zell]

Bare en forklaring til hvordan man kommer frem til de ulike t-verdiene:



[tex]\frac{\pi}{12}t - 6 = 1.76 + n2\pi \ \vee \ \frac{\pi}{12}t - 6 = 4.52 + n2\pi[/tex]

[tex]t = 29.64 + 24n \ \vee \ t = 40.18 + 24n \ , \ n \in Z[/tex]

Dette gir:

[tex]t = 29.64 - 24 \ (\text{her er n = -1}) = 5.64 \ \vee \ t = 29.64 \ (n = 0) \ \vee \ t = 40.18 - 24 \ (n = -1) = 16.18 \ \vee \ t = 40.18 \ (n = 0)[/tex]

SVAR:

[tex]\underline{\underline{t = 5.64 \ \vee \ t = 29.64 \ \vee \ t = 16.18 \ \vee \ t = 40.18}}[/tex]

[oyo]

Har lurt endel på denne oppgaven jeg også..
Noen som kunne vist meg utregningen på oppgave b) ?
(kom ikke lengre enn det jeg.. :\ )

-oyO

[ettam]

b)

[tex]T(t) = 2 \sin \left( \frac{\pi}{12}t - 6 \right) + \frac{1}{10}t + 15 \ \ , \ \ t \in \[0, \ 48\][/tex]

[tex]T^\prime(t) = \left( 2 \sin \left( \frac{\pi}{12}t - 6 \right) \right)^\prime + \left( \frac{1}{10}t + 15 \right)^\prime[/tex]

Bruker kjerneregel på det første leddet, med:

[tex]u = \frac{\pi}{12}t - 6 \ \ [/tex] er [tex]\ \ u^\prime = \frac{\pi}{12}[/tex]

[tex]T^\prime(t) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{12}t - 6 \right) \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{1}{10}[/tex]

[tex]\underline{\underline{T^\prime(t) = \frac{\pi}{6} \cos \left( \frac{\pi}{12}t - 6 \right) + \frac{1}{10}}}[/tex]

[ettam]

e) Benytt svaret i d) til å beregne gjennomsnittstemperaturen i måleperioden.

[tex]\int_0^{48} T(t) dt = \int_0^{48} (2 \sin \left( \frac{\pi}{12}t - 6 \right) + \frac{1}{10}t + 15) dt = \[-\frac{24}\pi \cos(\frac{\pi}{12}t-6) +\frac1{20}t^2+15t \]_0^{48} = 835,2[/tex]

Gjennomsnitttemperatur: [tex]\frac{835,2}{48} \ {^oC} = \underline{\underline{17,4 ^oC}}[/tex]

[crea]

Tusen takk for alle svarene. Hjelper masse!