Drøfting sinus funksjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
crea
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 7
Joined: 30/07-2007 15:37
Location: Bergen

Hei!

Har store problemer med drøftingen av en sinus funksjon, om temperatur.
Klarer ikke å finne nullpunktene, eller topp-/bunnpunkter.
Klarer å derivere den, men stort mer enn det klarer jeg ikke.

Oppgaven er som følger:

Meteorologene i Roma registrerte temperaturen i byen over to hele døgn i oktober høsten 2006. Målingene startet klokka 10 på formiddagen den 12.oktober og ble avsluttet 48 timer senere, klokka 10 den 14.oktober. Med god tilnærming fant meteorologene ut at funksjonen T(t) under beskrev temperaturen T etter t antall timer. Alle temperaturer er i grader celsius.

T(t)= 2sin(( [symbol:pi] /12t)-6)+1/10t+15
Definisjonsmengden er [0,48].

a) Skisser grafen til T og finn temperaturen i Roma klokken 18, den 13. oktober 2006.

b) Vis ved regning at T'(t)= [symbol:pi] /6cos(( [symbol:pi]/12 t)-6)+1/10

c) Løs likningen T'(t) = 0 ved regning bruk resultatet til å regne ut den laveste temperaturen i måleperioden. Når inntreffer denne temperaturen?

d) Regn ut [symbol:integral] T(t)dt.

e) Benytt svaret i d) til å beregne gjennomsnittstemperaturen i måleperioden.


Håper noen kan hjelpe meg med dette, og vise meg hvordan utregningen er, spesielt på oppgave c og d. :lol:

[/tex]
Olorin
Lagrange
Lagrange
Posts: 1162
Joined: 15/12-2006 15:41
Location: Trondheim
Contact:

d)

[tex]I = \int 2\sin(\frac{\pi}{12}t-6)+\frac1{10}t+15 dt[/tex]

Deler opp integralet (+ og -)

[tex] I_1=\int 2\sin(\frac{\pi}{12}t-6)dt[/tex]

setter [tex] u = \frac{\pi}{12}t-6 \ \ u^, = \frac{\pi}{12} \ \ \frac{du}{dt} = \frac{\pi}{12} \ \Rightarrow \ dt = \frac{12}{\pi}du[/tex]


[tex]I_1=2\int \sin(u)\cdot \frac{12}{\pi}du = \frac{24}\pi\cdot-\cos(u)+C = -\frac{24}\pi \cos(\frac{\pi}{12}t-6)+C [/tex]

[tex]I_2=\int \frac1{10}t+15 = \frac1{20}t^2+15t + C[/tex]

[tex]\int 2\sin(\frac{\pi}{12}t-6)+\frac1{10}t+15 dt =I_1+I_2= -\frac{24}\pi \cos(\frac{\pi}{12}t-6) +\frac1{20}t^2+15t + C[/tex]
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Olorin
Lagrange
Lagrange
Posts: 1162
Joined: 15/12-2006 15:41
Location: Trondheim
Contact:

c)

[tex]T^,(t)=\frac\pi6 \cos(\frac\pi{12}t-6)+\frac1{10} = 0 \ |\ - \frac1{10} \ | \ \cdot \frac6\pi[/tex]

[tex] cosu = -\frac6{10\pi} \ \Rightarrow \ cos^{-1}(-\frac6{10\pi}) = 1.76[/tex]

[tex] \frac\pi{12}t-6 = \pm 1.76+2\pi\cdot n[/tex]

[tex] t = 29.64+24\cdot n[/tex]

[tex] t = 16.19 +24\cdot n[/tex]

[tex]t = 5.65, 16.19, 29.64, 40.18[/tex]

Laveste temperatur får du av t = 16.18 (bare plott inn de forskjellige verdiene eller se graf)

[tex]T(16.19)= 14.65^{\circ}[/tex]

Målingen startet kl 10:00 12.okt --> 10+16.19 = 26.19 --> (13.oktober kl 02:(0.19*60) 02:11)
Last edited by Olorin on 03/08-2007 04:19, edited 1 time in total.
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
zell
Guru
Guru
Posts: 1777
Joined: 09/02-2007 15:46
Location: Trondheim

Bare en forklaring til hvordan man kommer frem til de ulike t-verdiene:

Image

[tex]\frac{\pi}{12}t - 6 = 1.76 + n2\pi \ \vee \ \frac{\pi}{12}t - 6 = 4.52 + n2\pi[/tex]

[tex]t = 29.64 + 24n \ \vee \ t = 40.18 + 24n \ , \ n \in Z[/tex]

Dette gir:

[tex]t = 29.64 - 24 \ (\text{her er n = -1}) = 5.64 \ \vee \ t = 29.64 \ (n = 0) \ \vee \ t = 40.18 - 24 \ (n = -1) = 16.18 \ \vee \ t = 40.18 \ (n = 0)[/tex]

SVAR:

[tex]\underline{\underline{t = 5.64 \ \vee \ t = 29.64 \ \vee \ t = 16.18 \ \vee \ t = 40.18}}[/tex]
oyo
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 10
Joined: 28/09-2006 18:06

Har lurt endel på denne oppgaven jeg også..
Noen som kunne vist meg utregningen på oppgave b) ?
(kom ikke lengre enn det jeg.. :\ )

-oyO
ettam
Guru
Guru
Posts: 2480
Joined: 28/09-2005 17:30
Location: Trondheim

b)

[tex]T(t) = 2 \sin \left( \frac{\pi}{12}t - 6 \right) + \frac{1}{10}t + 15 \ \ , \ \ t \in \[0, \ 48\][/tex]

[tex]T^\prime(t) = \left( 2 \sin \left( \frac{\pi}{12}t - 6 \right) \right)^\prime + \left( \frac{1}{10}t + 15 \right)^\prime[/tex]

Bruker kjerneregel på det første leddet, med:

[tex]u = \frac{\pi}{12}t - 6 \ \ [/tex] er [tex]\ \ u^\prime = \frac{\pi}{12}[/tex]

[tex]T^\prime(t) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{12}t - 6 \right) \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{1}{10}[/tex]

[tex]\underline{\underline{T^\prime(t) = \frac{\pi}{6} \cos \left( \frac{\pi}{12}t - 6 \right) + \frac{1}{10}}}[/tex]
ettam
Guru
Guru
Posts: 2480
Joined: 28/09-2005 17:30
Location: Trondheim

e) Benytt svaret i d) til å beregne gjennomsnittstemperaturen i måleperioden.

[tex]\int_0^{48} T(t) dt = \int_0^{48} (2 \sin \left( \frac{\pi}{12}t - 6 \right) + \frac{1}{10}t + 15) dt = \[-\frac{24}\pi \cos(\frac{\pi}{12}t-6) +\frac1{20}t^2+15t \]_0^{48} = 835,2[/tex]

Gjennomsnitttemperatur: [tex]\frac{835,2}{48} \ {^oC} = \underline{\underline{17,4 ^oC}}[/tex]
crea
Pytagoras
Pytagoras
Posts: 7
Joined: 30/07-2007 15:37
Location: Bergen

Tusen takk for alle svarene. Hjelper masse! :D
Post Reply