Vektorfunksjon

[Charlatan]

Jeg stusset litt over dette, ikke at jeg setter spørsmål til gyldigheten dens:

Vi har en vektorfunksjon r(t) = [1+5cost, 2+3sint]
parameterframstillingen er slik:

x = 1+5cost
y = 2+3sint

Nå, måten de i boka fant likningen til denne grafen var:

cost=(x-1)/5
sint=(y-2)/3

Så satte de
cos^2t = (x-1)^2/5^2
sin^2t = (y-2)^2/3^2

Ok, alt er fint, vi vet dette.
Men når de finner likningen for linja var rett og slett bare ved å plusse sammen dette likningssettet med seg selv.

cos^2t + sin^2t = 1

(x-1)^2/5^2 + (y-2)^2/3^2 = 1

Opplagt! Egentlig ikke.. Hva er det som gjør at man rett og slett bare kan plusse sammen dette likningssettet for å få likningen for funksjonen?
(det er jo riktig selvfølgelig)

Jeg trodde man måtte isolere 't' for å substitere den i det andre likningssettet. Jeg visste ikke at denne framgangsmåten var lov.

[Janhaa]

Dette er vel bare Pytagoras, hvis jeg har forstått oppgava/deg riktig.
---------------------------------------------------------------------------------

Tenk deg en ellipse med sentrum i origo og store halvakse a og lille halvakse b. Den parametriseres slik:

x=acos(t) og y=bsin(t)

Pytagoras gir:

[tex]\cos^2(t)+\sin^2(t)=1=({x\over a})^2\,+\,({y\over b})^2[/tex]
eller
[tex]{x^2\over a^2}\,+\,{y^2\over b^2}=1[/tex]

som er en generell formel for ellipse som forklart over. Der a > b.

-----------------------------------------------------------------------------------

Samma sak med oppgava di også. Pytagoras.
Funksjonen din er en ellipse med sentrum i (1, 2) og a=5 og b=3.

Er jo i grunn dette som står i oppgavteksten (og en omformer kartesiske koordinater til parametriserte kurver via Pytagoras).

[Charlatan]

Vel, tranformasjonen er jo forståelig sånn sett. Men at man bare trenger å pluss sammen uttrykkene for å få en likning er helt nytt for meg.

la oss si at du har:

y=2log(t)
x=3log(t)

du vet at (log(t))^2+(log(t))^2 = 5

hvorfor kan du bare sette (y/2)^2+(x/3)^2 = 5 da for å få den samme likningen som den parametriserte likningen?

[daofeishi]

Tenk litt på hva en graf er. I tilfellet med to variable er det egentlig en mengde [tex]\Gamma[/tex] av (i ditt tilfelle reelle) (x,y)-par, som du kan plotte i et euklidisk plan om du har lyst. [tex]\Gamma[/tex] blir en relasjon, og det du egentlig ønsker er å finne ut hvilke (x,y)-par som hører hjemme i [tex]\Gamma[/tex]. Dermed kan du også bestemme hvilken "figur" du har med å gjøre (dersom relasjonen "oppfører seg fint" ).

Ofte bestemmer vi hvilke (x,y)-par som hører hjemme i [tex]\Gamma[/tex] ved å finne et eksplisitt forhold mellom x og y. "Hvis x er ... så vil y være..." Et greit eksempel er f.eks. y=x[sup]2[/sup]. Dette uttrykket forteller deg at dersom x = -3 er y = 9. Du kan finne alle (x,y)-par du vil, og plotte det som viser seg som en parabel. Relasjonen melom variablene for en sirkel sentrert på origo kjenner du og til: [tex]x^2+y^2 = r^2[/tex]. Her kan du på samme finne alle (x,y)-par i [tex]\Gamma[/tex] fordi du kjenner et eksplisitt forhold mellom x og y.

Dersom du ønsker å finne ut hvordan en kurve ser ut når den blir plottet må du altså finne en måte å bestemme alle (x,y)-parene i [tex]\Gamma[/tex]. Klarer du å finne en gyldig relasjon mellom x og y som beskriver disse parene, så kan du bestemme hva slags "geometrisk figur" du har med å gjøre. I en parametrisert kurve har du en "ekstravariabel" som beskriver forholdet mellom x og y. Men dersom du klarer å finne en annen måte å beskrive dette forholder på som inneholder akkurat den same informasjonen - "dersom x er ... er y ...", så har du selvsagt lov til å bruke denne i stedet for! (Bare pass på at ikke noe informasjon forsvinner! Dette kan skje ved algebraiske omforminger der du f.eks. kvadrerer.)

[Charlatan]

"Hvis x er ... så vil y være..."
Å finne en relasjon mellom x og y var jo egentlig ganske opplagt.
Du overbeviste meg med denne setningen, tusen takk
Jeg vet ikke hva jeg egentlig tenkte...

Det har jeg forresten ofte lurt på, hvilke operasjoner kan forandre informasjonen i et uttrykk? Kvadreringer, rottrekninger, men hva mer?