Integrasjon med variabelskifte

[Frøken Eie]

[symbol:integral] (4x+4)e[sup]x^2+2x+1[/sup]dx
setter u=(x+1)
4 [symbol:integral] u*e[sup]u^2[/sup]du
= 2u[sup]2[/sup]e[sup]u^2[/sup]+C
= 2(x+1)[sup]2[/sup]*e[sup]x^2+2x+1[/sup]+C
men dette er feil. Kan nokon visa meg kossen dette skal reknast ut?

[Janhaa]

Sett
[tex]u=x^2+2x+1[/tex]
som gir
[tex]2{\rm du}=(4x+4){\rm dx}[/tex]

altså

[tex]2\int e^u {\rm du}[/tex]

og da er det greit...

[Frøken Eie]

jepp, da gikk deg greit takk

[Frøken Eie]

Hei, igjen. Hvordan er det mulig å forstå integrasjon? Jeg har regna mange ganger og fått flere forskjellige gale svar. Jeg får ikke til denne oppgaven:
[symbol:integral] tanx dx
Kan du hjelpe meg?

[Janhaa]

Finnes ikke noe entydig svar på spørsmålet ditt. Prøv først og fremst å gjenkjenne de viktigste funksjonenes deriverte og antideriverte.
F.eks. at:
(cos(x))' = -sin(x)
eller
[symbol:integral] (1+tan[sup]2[/sup](x)) dx = [symbol:integral] (dx/cos[sup]2[/sup](x)) = tan(x) +C
osv

Lær deg i) integrasjon med delbrøksoppspalting, ii) integrasj. med substitusjon og iii) delvis integrasjon.
Så er du langt påvei. Og integrer og øve mye.

-----------------------------------------------------------------------------------

[tex]I=\int \tan(x) {\rm dx}=\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} {\rm dx}[/tex]

sett u = cos(x), slik at du = -sin(x) dx
.
.
.
[tex]I=-\ln|\cos(x)|+C[/tex]

[Olorin]

når jeg bruker substitisjon gjør jeg det på en litt annen måte..

[tex]I = \int \tan(x) \rm{d}x = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}{\rm{d}x}[/tex]

[tex]u=cos(x)\; u^, = -sin(x)[/tex]

[tex]\frac{du}{dx}=-sin(x)\;\Rightarrow dx=\frac1{-sin(x)}du[/tex]

[tex]\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}{\rm{d}x} = \int \frac{\cancel{\sin(x)}}{u}\cdot \frac1{-\cancel{sin(x)}}du[/tex]

[tex] -\int \frac1{u}\rm{d}u = -ln|u| + C = -ln|cos(x)| + C[/tex]

[Janhaa]

Mr. Norris, vi har utført integrasjonen likt. Jeg orka bare ikke skrive alt, og tok en shortcut. Indikert ved
.
.
.

[Olorin]

okey uansett, så er dette en fin måte å gjøre det på. når denne metoden satt til meg, ble ikke integrasjon noe særlig problem i ettertid.

at du/dx = u' e jo bærre lækkert.. ?

[Frøken Eie]

Hei. Vel overstått sommer, nå er det skole og oppgaver igjen, og jeg jobber videre med integrasjon...

[symbol:integral] 4x(x[sup]2[/sup]+1)e[sup]x^2+1[/sup]dx

Jeg får ikke til å regne denne riktig ut. Får du det til?[/sub]

[zell]

Hei:)

Du kan bruke substitusjon
[tex]I = \int 4x(x^2+1)\cdot e^{(x^2+1)} \rm{d}x[/tex]

[tex]u=x^2+1 \ \; u^,=2x \ \; \frac{du}{dx} =2x \ \; dx=\frac1{2x}du[/tex]

[tex]\int 4x(u)e^u \cdot \frac1{2x}\rm{d}u = e^u\cdot u[/tex]

[tex]2\int ue^u \rm{du}[/tex]

bruk delvis på den
u'=e^u u=e^u
v=u v'=1

[tex]2\int ue^u \rm{d}u = 2(e^u\cdot u - \int 1\cdot e^u \rm{d}u) = 2(e^u \cdot u - e^u +C)[/tex]

[tex]I = 2(e^{(x^2 + 1)}(x^2 + 1) - e^{(x^2 + 1)}) + C = 2x^2e^{(x^2 + 1)} + 2e^{(x^2 + 1)} - 2e^{(x^2 + 1)} + C = \underline{\underline{2x^2e^{(x^2 + 1)} + C}}[/tex]

[=)]

[tex]\int 4x(x^2+1)e^{x^2 + 1} \;dx[/tex]

substutierer med [tex]u = x^2 + 1, \;dx = \frac{1}{2\sqrt{u - 1}} \;du[/tex]

[tex]\int 4x(x^2+1)e^{x^2 + 1} \;dx = \int 4 \sqrt{u-1} u \frac{1}{2\sqrt{u-1}} e^u \;du = 2 \int u e^u \;du[/tex]

bruker delvis integrering

[tex]= 2 ( ue^u - \int e^u \;du)[/tex]

[tex]= 2ue^u - 2e^u = 2(x^2 + 1)e^{x^2 + 1} - 2e^{x^2 + 1} + C[/tex]

Jeg lærte integrering for 1,5 uker siden så jeg kan ikke love at dette er helt riktig, fordi jeg kan ikke sjekke svaret.

(ps. integraler med e inni dem er så hyggelige!)

edit: ser ut til at jeg og zell løste dette samtidig!

[Frøken Eie]

Takk zell og =) . Zells svar stemmer med fasiten og jeg fikk god hjelp fra dere og klarer å regne det ut sjøl nå. Men =); hvordan vet du at 2x=x [symbol:rot] (u-1) ? Det forstår jeg ikke.

[=)]

Jeg sjekket også svarene og (heldigvis =D) så stemte mitt overens med zells svar.

og jo [tex]x = \sqrt{u-1}[/tex] fordi

[tex]u = x^2 + 1, u - 1 = x^2, \sqrt{u-1} = x[/tex]

og uhm toeren ble vel satt utenfor integralet til slutt =).

[Frøken Eie]

Du er flink du =). Jeg blir når jeg ser deg og dine gode ++++ forklaringer.

[Olorin]

=), noe tungvint måte å utføre substitusjon på men men det stemmer selvsagt