syklisk firkant

[skavis]

Fint det er jeg og nå, men kan ikke huske at vi har hatt om dette, men men skal ikke være lett

[PeerGynt]

Det er fort gjort å "miste fatningen" når en støter på nye og ukjente ting under eksamen. Skavis har uheldig vis demonstrert for alle at det er viktig ikke å henge seg opp i dette.

Regel: Gå videre til neste oppgave og kom heller tilbake til problemoppgaven når du vet at du har tistrekkelig med tid til å regne gjennom en eller flere ganger. Dersom tiden renner ut, forklar kort med ord hvordan du ville løse oppgaven.

[Matematikkk]

For at en firkant skal kunne innskrivast i en sirkel må motståande vinklar i firkanten vere lik 180 grader. Så alle firkantar kan ikkje innskrivast i en sirkel.

Eks: Firkanten ABCD er innskrevet i en sirkel. Da er A+C=180 grader, og B+D=180 grader.

[Abeline]

Helt riktig at alle firkanter ikke er sykliske. Du vil f.eks. aldri kunne innskrive et parallellogram i en sirkel, annet enn hvis alle vinklene er rette (og da kaller man det jo et rektangel).

En enkel måte å forstå dette på, er at enhver trekant kan innskrives i nøyaktig én sirkel. Da kan du tegne uendelig mange firkanter som ikke er sykliske ved å velge punkter utenfor eller innenfor denne sirkelen.

Tror ikke syklsike firkanter er så mye omtalt i skolematematikken (selv har jeg i hvert fall aldri møtt det der, og jeg er nå ferdig med 2MX), men i "olympiadematematikk" er det veldig viktig, og det finnes en mengde spennende regler for sykliske firkanter.

[administrator]

Hei Abeline!
Fint å se at det er aktive sjeler også i sommerferien.

Dersom du har lest alle innlegg under denne tråden ser du at jeg allerede har avslørt manglende kunnskaper i emnet


Du sier det finnes mye interessant og mange regler.....
Har du noe du kan dele med oss?

MVH
KM

[Phi]

Hmm. Aldri hørt om det...Vi lærer alltid noe nytt. Jeg er nå våken på det nå!. En thing, må alle hjørnene bli berørt?
Hva er vitsen... Alle finner nye navn på ting som de ikke vet...

[Abeline]

En thing, må alle hjørnene bli berørt?

Ja, selve definisjonen på en syklisk firkant, er at alle fire hjørnene ligger på én sirkel.

Et lite tips: Hvis du skal tegne en vilkårlig syklisk firkant, f.eks. for å henge med på det jeg har tenkt å skrive om dem, anbefaler jeg på det sterkeste å tegne sirkelen først, deretter merke av fire tilfeldige punkter, og så tegne selve firkanten:) (Det samme gjelder med alle andre vilkårlige figurer som skal innskrives i en sirkel, tegn sirkelen først!)

[Abeline]

Du sier det finnes mye interessant og mange regler..... Har du noe du kan dele med oss?

Ja, skal prøve å gi et lite "kurs" i klassisk plangeometri som omhandler trekanter og sykliske firkanter.

For å få noe særlig ut av dette, er det greit å begynne med det grunnleggende, nemlig trekanter. Enhver trekant kan innskrives i en sirkel, dvs. at det alltid finnes nøyaktig én sirkel som er slik at alle trekantens hjørner ligger på denne sirkelen (ikke innenfor eller utenfor, men på selve sirkelbuen).

Hvis du vil finne sentrum i denne sirkelen, finner du rett og slett skjæringspunktet mellom midtnormalene til sidene i trekanten. De tre midtnormalene vil alltid skjære hverandre i ett punkt, så det holder å konstruere to av dem.

Vi benytter her standardnotasjon, dvs. at vi kaller trekantens sider a, b og c, og at vinkelen som ligger overfor a, kalles A osv.

Radius (R) av trekantens omskrevne sirkel (også kalt omsirkelen), finner vi ved hjelp av dette uttrykket: 2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC.

Jeg vet ikke hvor mye dere kan om sentralvinkler (en sentralvinkel har toppunkt i sentrum av sirkelen) og periferivinkler (har toppunkt på sirkelbuen), men periferivinkelen over en bestemt bue er konstant, og den er halvparten av sentralvinkelen over den samme buen. For å forstå dette, anbefaler jeg at du tegner en sirkel og merker av to punkter, P og Q, på den. De to punktene deler nå sirkelen i to deler, og for å gjøre det enklest mulig, skal du konsentrere deg om den lengste. Hvis du nå merker av et punkt K på denne buen, og trekker linjestykkene PK og QK, vil vinkel PKQ være konstant, dvs at det er samme hvor punktet K ligger på denne buen, for vinkelen vil bli like stor uansett. Tegner du også vinkelen PSQ, hvor S er sentrum i sirkelen, er denne dobbelt så stor.

Som et spesialtilfelle, kan vi tenke oss at P og Q danner endepunktene for en diameter i sirkelen (med fine ord er de da diametralt motsatte). Da er selvfølgelig vinkel PSQ 180 grader, og vinkel PKQ må da bli 90 grader. Det visste dere kanskje fra før... PKQ er nå en rettvinklet trekant, og du kan se at 2R=PQ/sin90=PQ, og det vet vi jo er sant!



Så over til de sykliske firkantene:)

Summen av to motstående vinkler i en syklisk firkant må være 180 grader. Ser du på loven om sentralvinkler/periferivinkler, er dette en relativt enkel sak å vise.

Tegn en sirkel, merk av fire punkter A, B, C og D, og trekk linjestykkene AB, BC, CD og DA. Du har nå en syklisk firkant. Så kan du i tillegg tegne inn diagonalene AC og BD, og kall gjerne skjæringspunktet mellom dem for E. Se nå på vinklene ABD og ACD. De må være like store, av loven om periferivinkler. At vinklene AEB og CED er like store, er opplagt, og vi har derfor at trekantene ABE og CED er formlike (merk: formlike, ikke nødvendigvis kongruente). På tilsvarende måte kan du vise at AED og BEC er formlike.

Pga formlikheten, har vi nå f.eks. at BE/CE=AE/DE, eller at BE*DE=AE*CE. Ser du på tegningen din, ser du at dette er produktene av de delene E deler hver av diagonalene i. Dette produktet er konstant for et bestemt punkt, og kalles punktets potens med hensyn på sirkelen. Lar vi linja gjennom E også gå gjennom sentrum S, får vi at Es potens med hensyn på sirkelen er (R-SE)*(R+SE)= R[sup]2[/sup]-SE[sup]2[/sup]. Altså: hvis vi har en korde gjennom punktet E, er produktet av de to delene E deler korden i, konstant (dette gjelder også hvis E ligger utenfor sirkelen, men det kan vi sikkert ta en annen gang).

En annen ting som gjelder sykliske firkanter, er et spesialtilfelle av Ptolemaios setning: produktet av diagonalene er lik produktsummen av de motstående sider. Altså, i vårt tilfelle: AC*BD=AB*CD+BC*AD

I tillegg har vi et par isoperimetriske resultater:
1. Er omkretsen av en firkant gitt, er det den sykliske firkanten som har størt areal.
2. Er arelaet av en firkant gitt, er det den sykliske som har minst omkrets.

Dessuten finnes det en arealformel for sykliske firkanter. Kaller vi arealet T, sidene a, b, c og d, og vi lar P være halve omkretsen ((a+b+c+d)/2), har vi at T[sup]2[/sup]=(P-a)(P-b)(P-c)(P-d)

[Abeline]

Siden oppgavetrening er viktig, skal dere få to oppgaver av meg. Den første er en finaleoppgave fra årets Abelkonkurranse, og burde ikke være så avskrekkende nå, så bli med der folkens! Den andre husker jeg ikke hvor kommer fra, og den er ikke direkte knyttet til sykliske firkanter, men den er ikke så skrekkelig vanskelig, og den har en del med forståelse å gjøre.

1. I firkanten ABCD er vinkel A 60 grader, vinkel B er 90 grader og vinkel C er 120 grader. Skjæringspunktet M mellom diagonalene i firkanten er slik at BM=1 og MD=2.
a) Vis at hjørnene i ABCD ligger på en sirkel, og finn radien i denne sirkelen.
b) Finn arealet av firkanten ABCD.

2. Gitt fire vilkårlige punkter (i planet), som ikke er konsykliske*. Konstruer alle sirkler som er slik at avstanden er lik til hvert av de fire punktene**.

*hvis punktene er konsykliske, betyr det at alle punktene ligger på den samme sirkelen, så her gjør de altså IKKE det
**korteste avstand fra punktet til sirkelen, dvs den avstanden du finner om du trekker en linje gjennom punktet og sentrum i sirkelen.

PUHH... Tipper dere har fått litt å leke med nå:)

[administrator]

Tusen takk

Dette tror jeg mange, i likhet med meg, setter stor pris på

Kenenth

[Matematikkk]

1. I firkanten ABCD er vinkel A 60 grader, vinkel B er 90 grader og vinkel C er 120 grader. Skjæringspunktet M mellom diagonalene i firkanten er slik at BM=1 og MD=2.
a) Vis at hjørnene i ABCD ligger på en sirkel, og finn radien i denne sirkelen.
b) Finn arealet av firkanten ABCD.


PUHH... Tipper dere har fått litt å leke med nå:)

Eg såg på dinna oppgåva...

Eg går ut i frå at hjørnet nede til venstre har fått navnet A, og så går det mot klokka til D.
Vinkel A = 60
Vinkel B = 90
Vinkel C = 120
Vinkel D er då lik 90
No har vi fått en symetrisk figur, der diagonalen AC er "midtlinje"

Vi har dermed at BM = DM, derfor kan ikkje BM vere 1 og DM vere 2

Eg trur du må ha skrevet feil, eller....

[Abeline]

Eg går ut i frå at hjørnet nede til venstre har fått navnet A, og så går det mot klokka til D.
Vinkel A = 60
Vinkel B = 90
Vinkel C = 120
Vinkel D er då lik 90
No har vi fått en symetrisk figur, der diagonalen AC er "midtlinje"

Vi har dermed at BM = DM, derfor kan ikkje BM vere 1 og DM vere 2

Eg trur du må ha skrevet feil, eller....

At figuren er symmetrisk, stemmer altså ikke, for det har du nettopp vist. Men det er ikke det oppgaven går ut på...

Oppgave a) bør være plankekjøring hvis du gidder å lese det jeg har skrevet om trekanters omskrevne sirkler og om sykliske firkanter... b) krever nok litt mer tenking. Lykke til med nytt forsøk!