Skal finne en potensrekke til ln(2-x)

[al-Khwarizmi]

Hei skal finne potensrekken til denne:

\ln(2-x) og går frem på følgende måte:

ln(2-x) = ln(2(1-(x/2)) =ln2 + ln(1-(x/2)) = [symbol:sum] (n=0, [symbol:uendelig] ) (x/2)^(n+1) / (n+1) = [symbol:sum] (n=1, [symbol:uendelig] ) (x/2)^n /(2^n)n og her stopper jeg...

noen forsalg??

[daofeishi]

Vi kan benytte oss av at en potensrekke kan integreres innenfor sitt konvergensintervall.

[tex]\ln (2+z) = \int \frac{1}{2+z} {\rm d}z = \frac{1}{2}\int 1 - \frac{z}{2} + \frac{z^2}{4} - ... {\rm d}z[/tex]

z = -x

(Takk fish, for å peke ut feilen)

[al-Khwarizmi]

Ja?? sier ikke så mye.. summen skal vel ikke være negativ?

[fish]

Hvis du har tilgang på rekka til [tex]\ln(1+x)[/tex], kan du følge oppskriften som du begynte på. Hvis ikke kan du gjøre som daofeishi, men det er en liten feil i det han skriver. Vi har

[tex]\frac{1}{2+z}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{z}{2}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{z}{2}+\left(\frac{z}{2}\right)^2-\ldots+(-1)^n \left(\frac{z}{2}\right)^n+\ldots\right)[/tex]

som gir, dersom integrasjonskonstanten bestemmes korrekt (den blir [tex]\ln 2[/tex]), at

[tex]\ln(2+z)=\frac{1}{2}\int \left(1-\frac{z}{2}+\left(\frac{z}{2}\right)^2-\ldots+(-1)^n \left(\frac{z}{2}\right)^n+\ldots\right)\;dz[/tex]

Til slutt setter man altså [tex]z=-x[/tex], slik at



[tex]\ln(2-x)=\ln 2-\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}[/tex]

[al-Khwarizmi]

takk

[Terminator]

år vi først snakker om logaritmer.. Kan noen gi en generell formel for
ln(a + b) ?

[KjetilEn]

Skjønner ikke helt hva du vil frem til her eller hensikten med det, men:

[tex]ln(a+b)= ln(e^{ln(a+b)})[/tex]


[tex]e^{ln(a+b)}= a+b[/tex]



[tex]ln(a+b)= x[/tex]

[tex]\Rightarrow e^{ln(a+b)}= e^x[/tex]

[tex]\Rightarrow a+b= e^x[/tex]


Var det noe i de baner du tenkte?

(Er kanskje litt på jordet her, siden jeg ikke har lest resten av oppgavene over )

[Terminator]

Hadde vel håpt på noe som liknet sin(u+v), men men..

[Magnus]

Hva mener du med generell formel?