Informasjon:
Tyngdekraften definerer likevektspunktet til systemet. Alle matematiske modeller dere skal finne er bevegelser omkring likevektspunktet. Dvs. at tyngdekraften IKKE skal være med i de matematiske modellene.
Tall som benyttes gjennom hele oppgaven:
m1= 300kg m2= 15kg
k2= [tex]3.0\times 10^5\frac N m[/tex]
Skjematiskfigur for hjulopphenget til en bil:
m1 [kg]: 1/4 av massen til bilen
k1 [N/m]: fjærkonstant
d [Ns/m]: dempekonstant
m2 [kg]: hjulets masse
k2 [N/m]: hjulets fjærkonstant
u(t) [m] : veibanens vertikale posisjon
x(t) [m]: hjulets vertikale posisjon i forhold til likevektsposisjon
y(t) [m]: karosseriets vertikale posisjon i forhold til likevektsposisjon
Forenklet modell av hjulopphenget:
I første del av oppgaven skal vi ta utgangspunkt i en forenklet matematisk modell av det dynamiske systemet. Anta at hjulet ikke har noe masse og er helt stivt.
1. Ta utgangspunkt i Newtons kraftbalanse og sett opp differensial likningen for karosseriets dynamiske bevegelser omkring likevektspunktet.
2. Overføringsfunksjonen (laplace transformasjon av differensial likningen)H1(s) mellom inngangsignalet u(s) og utgangsignalet y(s) kan skrives på formen:
[tex]H_1(s)=\frac {Y(s)} {U(s)}=\frac{b_1\cdot s+1}{a_2\cdot s^2 +a_1\cdot s + 1}[/tex]
Bestem koeffisientene: [tex] a_2, a_1 og b_1[/tex]
3. Hjulopphenget skal dimensjoneres slik at [tex]\omega_0=10 rad/s og \zeta=0.5[/tex] Bestem [tex]k_1 og d[/tex]. Hva blir egenverdiene til systemet? Hva er knekkfrekvensen til modellen?
4. Legg inn overføringsfunksjonen [tex]H_1[/tex](s) i simulink, og simuler karosseriets bevegelse med et sprang i u(t) på 0.1 m.
5. Tegn bodediagrammet til overføringsfunksjonen [tex]H_1[/tex](s) i frekvensområdet 1-100 rad/s.
6. Anta at hjulopphenget blir testet med et sinusformet signal med amplitude på 0,05 m. Pådraget til hjulopphenget er da gitt ved u(t)=0.05[tex]\cdot sin(\omega\cdot t)[/tex].
7. Legg inn overføringsfunksjonen [tex]H_1(s)[/tex] i simulink. og simuler karosseriets bevegelse når pådraget er en sinusfunksjon med amplitude på 0,05m. Simuler for vinkelfrekvensene 1, 5, 10 og 20 rad/s. Stemmer simuleringsresultatene med den analysen du gjorde i 6?
8. Anta nå at hjulopphenget blir testet med et periodisk firkantformet signal med amplitude på 0,05m. Bruk en periodisk firkantpuls med samme bredde opp og ned, og finn Fourierrekken til firkantpulsen.
9.Analyser, med utgangspunkt i bodediagrammet til [tex]H_1(s)[/tex], hvor stor andel av de ulike harmoniske til frikantpulsen som slipper gjennom til karosseriets bevegelse ved forskjellige vinkelfrekvenser.
10. Legg inn overføringsfunksjonen [tex]H_1(s)[/tex] i simulink, og simuler karosseriets bevegelse når pådraget er et periodisk firkantformet signal med amplitude på 0,05m. Simuler for vinkelfrekvensene 1, 5 , 10 og 20 rad/s. stemmer dette med analysene i 9?
Del 2
Nå skal du ta med hjulet i modellen. Hjulet har masse og en fjæring og det er i figuren under representert med massen [tex]m_2[/tex] og fjærkonstanten [tex]k_2[/tex]
1. Ta utgangspunkt i Newtons kraftbalanse og sett opp differensiallikningene for massene [tex]m_1 og m_2[/tex] sin dynamiske bevegelse omkring likevektspunktet.
Velg følgende tilstander, pådrag og måling:
[tex]x_1=y, x_2=\frac{dy}{dt} , x_3=x , x_4=\frac{dx}{dt}[/tex] , u, og målingene [tex]y=x_1[/tex] og skriv differensiallikningen på matriseformen
[tex]\frac {d\vec{x}}{dt}= A\cdot \vec{x} + B\cdot \vec{u}[/tex]
[tex]y=C\cdot \vec{x}[/tex]
Skriv opp innholdet i matrisene A, B og C.
Forsikre deg om at den matematiske modellen er riktig.
2. Overføringsfunksjonen [tex]H_2(s)[/tex] mellom inngangssignalet U(s) og utgangssignalet Y(s) kan skrives på formen
[tex]H_2(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_1\cdot s +1}{a_4\cdot s^4 + a_3\cdot s^3 + a_2\cdot s^2 + a_1\cdot s + 1}[/tex]
Bestem koeffisientene [tex]a_4, a_3, a_2, a_1 og b_1.[/tex]
for å finne overføringsfunksjonen må du ta laplacetransformasjonen til differensiallikningene og deretter elimineres X(s). I matlab= H=[tex]C\cdot (sI-A)^{-1} \cdot B[/tex]
3. Beregn egenverdiene til systemet med de verdiene på [tex]k_1[/tex] og d som du fant i punkt 3. Skriv egenverdiene på formen [tex]r\cdot e^{j\phi}[/tex]. Hva er knekkfrekvensene til modellen?
(I matlab: eig(A) eller roots([[tex]a_4 a_3 a_2 a_1 1[/tex]] eller pole(sys)
4. Legg inn overføringsfunksjonen [tex]H_2(s)[/tex] i simulink, og simuler karosseriets bevegelse med et sprang i u(t) på 0,1m. Bruk de samme verdier på [tex]k_1[/tex] og d som dere fant i punkt 3. del 1. Legg inn sprangresponsen til forenklet modell i samme diagram for å lettere kunne sammenligne sprangresponsene.
5. Prøv å forandre noe på fjærstivheten (halver og doble den), og simuler sprangresponsene (d skal være som dere fant i punkt 3 del 1)
6. Prøv å forandre noe på dempekoeffisientene (halver og doble den), og simuler sprangresponsene ([tex]k_1[/tex] skal være som dere fant i punkt 3. del 1)
7. Tegn opp bodediagrammet til overføringsfunksjonen [tex]H_2[/tex](s) i frekvensområdet 1-10000 rad/s. Bruk de samme verdier på k1 og d som dere fant i punkt 3. del 1. Legg inn Bodediagrammet til en forenklet modell i samme diagram for lettere kunne sammenligne Bodediagrammene til modellene. Stemmer Bodediagrammene sett i sammenheng med modellenes knekkfrekvenser?
8. For en enda mer nøyaktig modell for hvordan føreren opplever komforten i bilen må en ta med at føreren sitter i et bilsete med fjæring. Bestem dimensjonene til matrisene A, B og C man får dersom en modellerer dette systemet på matriseformen
[tex]\frac {d\vec{x}}{dt}= A\cdot\vec{x} + B\cdot\vec{u}[/tex]
[tex]y=C\cdot\vec{x}[/tex]
TRENGER VIRKELIG HJELP TIL Å FORSTÅ DETTE, ALL HJELP ER TIL HJELP
