Vektorer og ukjente vinkler

[Ariane]

Punktene A=(-4,2) og B=(1,-4) og C=(4,-1) D=(0,5) er hjørnene i en firkant.

a) Finn vinklene i firkanten
b) Finn arealet til firkanten

Regner med at jeg skal bruke cosinussetningen på en eller annen måte, men får det ikke til. Noen som kan guide meg til å finne vinkler når jeg bare har punkter eller vektorer oppgitt. Takk.

[ettam]

a)

Du kan bruke vektorregning til dette:

Skalarproduktet mellom [tex]\vec {AB}[/tex] og [tex]\vec {AD}[/tex] :

[tex]\vec {AB} \cdot \vec {AD} = |\vec {AB}| \cdot |\vec {AD}| \cdot cos A[/tex]

Snur vi på dette uttrykket får vi:

[tex]cos A = \frac{\vec {AB} \cdot \vec {AD}}{|\vec {AB}| \cdot |\vec {AD}|}[/tex]

Tilsvarende for [tex]\angle B[/tex] :

[tex]cos B = \frac{\vec {BA} \cdot \vec {BC}}{|\vec {BA}| \cdot |\vec {BC}|}[/tex]

Tilsvarende for [tex]\angle C[/tex] :

[tex]cos C = \frac{\vec {CB} \cdot \vec {CD}}{|\vec {CA}| \cdot |\vec {CD}|}[/tex]

Tilsvarende for [tex]\angle D[/tex] :

[tex]cos D = \frac{\vec {DA} \cdot \vec {DC}}{|\vec {DA}| \cdot |\vec {DC}|}[/tex]

-------------------------------------------------------------------------------------------

b)

Du deler firkanten inn i to ved å tegne en diagonal, f.eks. [tex]BD[/tex]

Da har du to trekanter, [tex]\triangle ABD[/tex] og [tex]\triangle BCD[/tex] .

Arealet av [tex]\triangle ABD[/tex] finner du ved hjelp av arealsetningen:

[tex]\frac 12 \cdot |\vec {AB}| \cdot |\vec {AD}| \cdot sin A[/tex]

Arealet av [tex]\triangle BCD[/tex] finner du ved hjelp av arealsetningen:

[tex]\frac 12 \cdot |\vec {CB}| \cdot |\vec {CD}| \cdot sin C[/tex]