Kan noen hjelpe meg ?
BA
Bevise cosinussetningen ?
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jada, det er ikke så ille:)
Hvis du har en trekant ABC , og du kjenner vinklen u mellom side b og c.
Hvis du lager en normal fra c ned på grunnlinja b får du to rettvinklede trekanter delt av høyden h.
Så kaller du den siden som går fra vinklen u til h for x.
da har vi at side a^2 = h^2 + (b-x)^2
og at h^2 = -x^2 + c^2.
Vi brukte pytagoras' setning for å finne dette.
så finner vi et uttrykk for x :
cos u= x/c
x=cos u * c
Rydder vi litt opp i likningen har vi a^2 = h^2 + b^2 -2bx +x^2
Så fyller vi inn uttrykket for h^2: (-x^2 +c^2) + b^2 -2bx +x^2
Fyller inn uttrykket for x:
a^2= b^2 +c^2 -2b(cos u*c)
a^2=b^2+c^2-2bc*cosu
Edit:
Lagde det litt mer oversiktlig, og med hjelpetegninger:
Edit :Skrivefeil
Hvis du har en trekant ABC , og du kjenner vinklen u mellom side b og c.
Hvis du lager en normal fra c ned på grunnlinja b får du to rettvinklede trekanter delt av høyden h.
Så kaller du den siden som går fra vinklen u til h for x.
da har vi at side a^2 = h^2 + (b-x)^2
og at h^2 = -x^2 + c^2.
Vi brukte pytagoras' setning for å finne dette.
så finner vi et uttrykk for x :
cos u= x/c
x=cos u * c
Rydder vi litt opp i likningen har vi a^2 = h^2 + b^2 -2bx +x^2
Så fyller vi inn uttrykket for h^2: (-x^2 +c^2) + b^2 -2bx +x^2
Fyller inn uttrykket for x:
a^2= b^2 +c^2 -2b(cos u*c)
a^2=b^2+c^2-2bc*cosu
Edit:
Lagde det litt mer oversiktlig, og med hjelpetegninger:
Edit :Skrivefeil
Jeg synes vektorer gjør seg bedre til dette.
Jeg viser til følgende diagram:
[tex]|\vec c|^2 = \vec c \cdot \vec c = (\vec a - \vec b) \cdot (\vec a - \vec b) = \vec a \cdot \vec a - \vec a \cdot \vec b - \vec b \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2(\vec a \cdot \vec b)[/tex]
Fra dette følger direkte:
[tex]c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C[/tex]
Jeg viser til følgende diagram:
[tex]|\vec c|^2 = \vec c \cdot \vec c = (\vec a - \vec b) \cdot (\vec a - \vec b) = \vec a \cdot \vec a - \vec a \cdot \vec b - \vec b \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2(\vec a \cdot \vec b)[/tex]
Fra dette følger direkte:
[tex]c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C[/tex]
Et bevis uten bruk av cosinussetningen finner du her. Det finnes mange beviser for det den geometriske tolkningen av prikkproduktet, og jeg har til gode å se et som involverer cosinussetningen - har du lyst å dele det beviset?
http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product
Jaja, selvfølgelig. Poenget er bare at i 2MX (hvertfall min bok) bevises prikkproduktet med bruk av cosinussetningen. Men, selvfølgelig. Ditt bevis er selvfølgelig helt konsistent.
Jaja, selvfølgelig. Poenget er bare at i 2MX (hvertfall min bok) bevises prikkproduktet med bruk av cosinussetningen. Men, selvfølgelig. Ditt bevis er selvfølgelig helt konsistent.
Problemet er at (i hvert fall i 2MX-boka vår) bruker beviset for (1) [tex]cos(u \pm v) = \cos(u)\cos(v) \mp \sin(u)\sin(v)[/tex] at man kjenner formelen for prikkprodukt. Og da er vi like langt...daofeishi wrote:Et bevis uten bruk av cosinussetningen finner du her. Det finnes mange beviser for det den geometriske tolkningen av prikkproduktet, og jeg har til gode å se et som involverer cosinussetningen - har du lyst å dele det beviset?
Med mindre noen klarer å bevise (1) uten vektorer?
[tex]\cos(\alpha - \beta) = \Re(e^{i(\alpha - \beta)}) = \Re \left( (\cos \alpha + i \sin \alpha)(\cos \beta - i \sin \beta) \left) = \cos\alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta[/tex]sEirik wrote:Problemet er at (i hvert fall i 2MX-boka vår) bruker beviset for (1) [tex]cos(u \pm v) = \cos(u)\cos(v) \mp \sin(u)\sin(v)[/tex] at man kjenner formelen for prikkprodukt. Og da er vi like langt...daofeishi wrote:Et bevis uten bruk av cosinussetningen finner du her. Det finnes mange beviser for det den geometriske tolkningen av prikkproduktet, og jeg har til gode å se et som involverer cosinussetningen - har du lyst å dele det beviset?
Med mindre noen klarer å bevise (1) uten vektorer?
Og Eulers identitet kan vi igjen finne fra taylorekspansjonen... osv... osv...
Hvordan følger dette direkte? Kan du forklare?daofeishi wrote:Jeg synes vektorer gjør seg bedre til dette.
Jeg viser til følgende diagram:
[tex]|\vec c|^2 = \vec c \cdot \vec c = (\vec a - \vec b) \cdot (\vec a - \vec b) = \vec a \cdot \vec a - \vec a \cdot \vec b - \vec b \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2(\vec a \cdot \vec b)[/tex]
Fra dette følger direkte:
[tex]c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C[/tex]
Dette følger direkte fra skalarproduktet mellom to vektorer;
[tex]\vec A \cdot \vec B\,=\,|\vec {A}|\cdot |\vec {B}|\cdot \cos(\alpha)[/tex]
der[tex]\,\alpha \,[/tex]er vinkelen mellom vektorene.
[tex]\vec a \cdot \vec a\,=\,|\vec {a}|\cdot |\vec {a}|\cdot \cos(0)\,=\,|\vec {a}|^2[/tex]
[tex]2\vec a \cdot \vec b\,=\,2|\vec {a}|\cdot |\vec {b}|\cdot \cos(\alpha)[/tex]
dette forutsetter at du har kjennskap til skalarproduktet.
[tex]\vec A \cdot \vec B\,=\,|\vec {A}|\cdot |\vec {B}|\cdot \cos(\alpha)[/tex]
der[tex]\,\alpha \,[/tex]er vinkelen mellom vektorene.
[tex]\vec a \cdot \vec a\,=\,|\vec {a}|\cdot |\vec {a}|\cdot \cos(0)\,=\,|\vec {a}|^2[/tex]
[tex]2\vec a \cdot \vec b\,=\,2|\vec {a}|\cdot |\vec {b}|\cdot \cos(\alpha)[/tex]
dette forutsetter at du har kjennskap til skalarproduktet.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]