To utfordrende integraler.

[pesten]

Hei dette er to integraler som her hentet fra oppgaver fra eksamen våren 2006.

Jeg har kommet fram til disse to integralene:

1. [symbol:integral] e[sup]x[/sup]*cos(x)dx

2. [symbol:integral] cos[sup]4[/sup](x) * sin[sup]2[/sup](x) dx

Integral nummer 2 har jeg kommet fram til ved å kvadrere en funksjon:

y = cos[sup]2[/sup](x) * sin (x)

Aner ikke hvordan jeg skal løse disse integralene. Jeg tenkte kanskje at man kunne løse integral 2 med delvis integrasjon. Men har ikke kommet fram til noe.

Trenger hjelp! Takker for svar.[/sup]

[sEirik]

På nr. 1:
Bruk delvis integrasjon, slik at du får derivert cos(x). Du får et nytt integral med sin(x). Bruk delvis integrasjon igjen, slik at du får derivert sin(x). Du sitter nå igjen med et integral som likner på det opprinnelige. Bruk dette til å finne integralet ved å løse som en likning.

På nr. 2:
Bruk [tex]\cos^2 (x) + \sin^2 (x) = 1[/tex], da blir integralet

[tex]\int \cos^4 (x) {\rm d}x - \int \cos^6 (x) {\rm d}x[/tex]

Husk at [tex]\cos(2x) = \cos^2 (x) - \sin^2 (x) = 2\cos^2 (x) - 1[/tex]. Bruk dette til å finne et uttrykk for [tex]\cos^2 (x)[/tex]. Bruk dette uttrykket til å finne [tex]\cos^4(x) = (\cos^2(x))^2[/tex] og tilsvarende for [tex]\cos^6 (x) = (\cos^2 (x))^3[/tex]. Løs ut parantesene og da sitter du igjen med en del løselige integraler.

Er sikker på at disse veiene vil føre i mål, det som ikke er sikkert er om det er de enkleste veiene.

[zell]

1) Delvis integrasjon!

[tex]I = \int e^x \ \cdot \ \cos{x}\rm{d}x[/tex]

[tex]u^, = e^x \ , \ u = e^x \ , \ v = \cos{x} \ , \ v^, = -\sin{x}[/tex]

[tex]I = e^x \ \cdot \ \cos{x} + \int e^x \ \cdot \ \sin{x}\rm{d}x[/tex]

Ny delvis integrasjon.

[tex]u^, = e^x \ , \ u = e^x \ , \ v = \sin{x} \ , \ v^, = \cos{x}[/tex]

[tex]I = e^x \ \cdot \ \cos{x} + (e^x \ \cdot \ \sin{x} - \int e^x \ \cdot \ \cos{x}\rm{d}x)[/tex]

[tex]\int e^x \ \cdot \ \cos{x}\rm{d}x = e^x \ \cdot \ \cos{x} + e^x \ \cdot \ \sin{x} - \int e^x \ \cdot \ \cos{x}\rm{d}x[/tex]

[tex]2\int e^x \ \cdot \ \cos{x}\rm{d}x = e^x \ \cdot \ \cos{x} + e^x \ \cdot \ \sin{x} + C[/tex]

[tex]2\int e^x \ \cdot \ \cos{x}\rm{d}x = e^x(\sin{x} \ + \ \cos{x}) + C[/tex]

[tex]\int e^x \ \cdot \ \cos{x}\rm{d}x = \underline{\underline{\frac{1}{2}e^x(\sin{x} \ + \ \cos{x}) + C}}[/tex]

Nummer to har sEirik hjulpet deg med allerede ser jeg :p

EDIT: Endret slurvefeil. Takk for påpekning.

[Janhaa]

2)
[tex]I\,=\,\int \sin^2(x) \cos^4(x){\rm dx}\,=\,\int (\frac{1-\cos(2x)}{2}) (\frac{1+\cos(2x)}{2})^2 {\rm dx}[/tex]

[tex]I\,=\,{1\over 8}\int (1-\cos(2x))(1+2\cos(2x)+\cos^{2}(2x)){\rm dx}[/tex]

[tex]I\,=\,{1\over 8}\int (1+\cos(2x)-\cos^{2}(2x)-\cos^{3}(2x)){\rm dx}[/tex]

[tex]\int \cos^{2}(2x){\rm dx}\,=\,{1\over 2}\int (1+\cos(4x)){\rm dx}\,=\,{1\over 2}(x+{1\over 4}\sin(4x))[/tex]

[tex]\int \cos^{3}(2x){\rm dx}\,=\,{1\over 2} (\sin(2x)-{1\over 3}\sin^{3}(2x))[/tex]

[tex]I\,=\,{1\over 16}(x\,-\,{1\over 4}\sin(4x)\,+\,{1\over 3}\sin^{3}(2x))\,+\,C[/tex]

Ja, ser du har fått svar. Har litt problemer med tex. Drit i tullet i integralet øverst til høyre.

[Janhaa]

Integral 2 blir dette i følge Wolfram:

[tex]I\,=\,\int \sin^{2}(x)\cos^{4}(x){\rm dx}\,=\, {x\over 16}\,+\,{1\over 64}\(sin(2x)\,-\,\sin(4x))\,-\,{1\over 192}\sin(6x)\,+\,C[/tex]

Var dette integral i eksamensoppgave i 3MX? Har ikke jeg sett !

[zell]

Kan nok godt hende at det er et integral på en 3MX-eksamen, men tviler sterkt på at det skal løses ved regning. Er nok noen grenseverdier ute å går

[Janhaa]

Kan nok godt hende at det er et integral på en 3MX-eksamen, men tviler sterkt på at det skal løses ved regning. Er nok noen grenseverdier ute å går

Jauda, høres mer plausibelt ut det...helsikes jobb på eksamen i 3MX. (Var litt mellomregning også, som jeg ikke tok med).

[pesten]

Tusen takk for hjelpen!

Fant ut at integral 2 skulle bare "bestemmes" så man kunne gjøre det på kalkulatoren.

Det var forresten privatist eksamen Våren 2006.