Løse ligningsett

[Sabal]

Gitt

[tex]\cos (\omega_0 t) = A_1 \cos (\omega_0 t + \phi_1) + A_2 \cos (\omega_0 t + \phi_2)[/tex]

[tex]\sin (\omega_0 t) = 2 A_1 \cos (\omega_0 t + \phi_1) + A_2 \cos (\omega_0 t + \phi_2)[/tex]

Finn [tex]A_1[/tex], [tex]A_2[/tex], [tex]\phi_1[/tex] og [tex]\phi_2[/tex].

[arildno]

Bruk summe formlene, og gang ut. Dernest identifiserer du hvilke 4 ligninger som må gjelde.

Jeg omformer første ligning for deg, du kan ta den andre!

[tex]\cos(\omega_{0}t))=A_{1}(\cos(\phi_{1})\cos\omega_{0}t-\sin(\phi_{1})\sin\omega_{0}t)+A_{2}(\cos(\phi_{2})\cos\omega_{0}t-\sin(\phi_{2})\sin\omega_{0}t)[/tex]
Vi omgrupperer slik:
[tex](1-A_{1}\cos\phi_{1}-A_{2}\cos\phi_{2})\cos\omega_{0}t+(A_{1}\sin\phi_{1}+A_{2}\sin\phi_{2})\sin\omega_{0}t=0[/tex]
Legg merke til at denne ligningen må gjelde for ALLE t!
Den må derfor være en IDENTITET, og det kan bare være tilfelle dersom begge de to konstante koeffisientent-uttrykkene i parenteser er 0.
Dette gir deg to ligninger.

Du får de to siste ligningene fra siste opprinnelige ligning på samme måte.

[mrcreosote]

En noe lettere metode: Siden ligningene skal holde for alle t, kan det være lurt å velge noen fornuftige t-verdier og se hva som skjer. Prøv for eksempel t=0. Hvis vi ser bort bra den kjedelige løsninga hvor omega_0=0, kan du også prøve [tex]t=\frac{\pi}{2\omega_0}[/tex] og utnytte at sinus- og cosinusfunksjonene er forskyvninger av hverandre: [tex]\cos{(x+\frac\pi2)} = -\sin x[/tex]. Du skal nå sitte med 2 ganger 2 behagelige ligninger i 2 ukjente.

Merk forøvrig at en løsning ikke er entydig uten restriksjoner på variablene: Hvis [tex](A_1, A_2, \phi_1, \phi_2)[/tex] gir en løsning, gir for eksempel [tex](-A_1, -A_2, \phi_1+\pi, \phi_2+\pi)[/tex] en annen løsning.

[Sabal]

Gitt

[tex]\cos (\omega_0 t) = A_1 \cos (\omega_0 t + \phi_1) + A_2 \cos (\omega_0 t + \phi_2)[/tex]

[tex]\sin (\omega_0 t) = 2 A_1 \cos (\omega_0 t + \phi_1) + A_2 \cos (\omega_0 t + \phi_2)[/tex]

Finn [tex]A_1[/tex], [tex]A_2[/tex], [tex]\phi_1[/tex] og [tex]\phi_2[/tex].

Vi fikk et hint i dag. Det er lurt å skrive funksjonene som fasorer og benytte seg av at de tre cosinusene har samme frekvens. På en eller annen måte skal man gjøre om

[tex]\cos (\omega_0 t) = A_1 \cos (\omega_0 t + \phi_1) + A_2 \cos (\omega_0 t + \phi_2)[/tex]

til

[tex]1 = A_1 e^{i \phi_1} + A_2 e^{i \phi_2}[/tex]

Ved bruk av Eulers inverse formel

[tex]cos (x) = \frac{ e^{i x} + e^{- i x}}{2}[/tex]

får jeg det til å bli

[tex]e^{i \omega_0 t} \left( 1- A_1 e^{i \phi_1} - A_2 e^{i \phi_2}} \right) = - e^{-i \omega_0 t} \left( 1- A_1 e^{- i \phi_1} - A_2 e^{- i \phi_2}} \right)[/tex]

Og det er visst omtrent det samme som arildno fant ut.
... deretter må jeg altså stole på at dette er en "identitet".. Men jeg skjønner ikke helt hvorfor det er sånn.

Jeg trenger visst å få det inn med teskje hva som fører til at parentesene må være null..

Læreren nevnte noe om at det kunne være flere løsninger så takk til mrcreosote for å servere meg den på sølvfat

[tex]\sin (a+\pi) = -\sin(a) = \sin(-a)[/tex]
(Stemmer dette?)

Jeg har løst oppgaven ved hjelp av arildnos metode(mye å skrive, skriver evt. senere), men som sagt skjønner jeg ikke helt begrunnelsen for hvorfor parentesene må være null.

[Magnus]

[tex]\sin (a+\pi) = \sin (a)\cdot \cos(\pi) + \sin(\pi) \cdot \cos(a) = -sin(a) = sin(-a)[/tex]

[arildno]

Parentesene må være null fordi sinus og cosinus er lineært uavhengige funksjoner.