Hvordan kan man bevise at
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}[/tex]
som er to av definisjonene på eulers tall?
Eulers tall
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vel. Kan jo bare beregne de to til å være e.. Den med taylorrekka kjenner du vel, så;
[tex]L =\lim _{n\to\infty} (1+\frac {1}{n})^n[/tex]
[tex]ln L = \lim _{n\to\infty} \frac {1+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}= \lim _{n\to\infty} \frac {ln(1+\frac {1}{n})}{\frac {1}{n}} [/tex]
Låppetall
[tex]ln L = \lim _{n\to\infty} \frac {\frac {1}{1+\frac {1}{n}}\cdot \frac {-1}{n^2}}{\frac {-1}{n^2}} = \lim _{n\to\infty} \frac {1}{1+\frac 1{n}} = 1[/tex]
[tex]L = e^1 = e[/tex]
[tex]L =\lim _{n\to\infty} (1+\frac {1}{n})^n[/tex]
[tex]ln L = \lim _{n\to\infty} \frac {1+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}= \lim _{n\to\infty} \frac {ln(1+\frac {1}{n})}{\frac {1}{n}} [/tex]
Låppetall
[tex]ln L = \lim _{n\to\infty} \frac {\frac {1}{1+\frac {1}{n}}\cdot \frac {-1}{n^2}}{\frac {-1}{n^2}} = \lim _{n\to\infty} \frac {1}{1+\frac 1{n}} = 1[/tex]
[tex]L = e^1 = e[/tex]
-
ingentingg
- Weierstrass
- Posts: 451
- Joined: 25/08-2005 17:49
Her er et direkte bevis tatt fra lærebok på nett.
Første linken definerer
[tex]e = \lim_{n\to\infty}\(1+\frac1n\)^n[/tex]
http://web01.shu.edu/projects/reals/numseq/index.html
Neste link viser at dette er det samme som:
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}[/tex]
http://web01.shu.edu/projects/reals/numser/index.html
Det er og bruke den siste som definisjon på e og vise at den første grensen er e
Første linken definerer
[tex]e = \lim_{n\to\infty}\(1+\frac1n\)^n[/tex]
http://web01.shu.edu/projects/reals/numseq/index.html
Neste link viser at dette er det samme som:
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}[/tex]
http://web01.shu.edu/projects/reals/numser/index.html
Det er og bruke den siste som definisjon på e og vise at den første grensen er e