Intergrasjon
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Kjører delvis.
[tex]I = \int \cos^3 x dx = \int \cos x \cdot \cos^2 x dx[/tex]
[tex]u^\prime = \cos x[/tex] [tex]v = \cos^2 x[/tex]
[tex]u = \sin x[/tex] [tex]v^\prime = - 2 \cos x \cdot \sin x[/tex]
[tex]I = \cos^2 x \cdot \sin x - \int -2(\cos x \cdot \sin^2 x) dx[/tex]
[tex]I = \cos^2 x \cdot \sin x + 2J[/tex]
[tex]J = \int \cos x \cdot \sin^2 x dx[/tex]
Kjører substitusjon.
[tex]u = \sin x[/tex], [tex]u^\prime = \cos x[/tex]
[tex]J = \int u^\prime \cdot u^2 dx = \int u^2 du = \frac{1}{3}u^3 + C = \frac{1}{3}\sin^3 x + C[/tex]
Setter inn:
[tex]I = \cos^2 x \cdot \sin x + \frac{2}{3}\sin^3 x + C[/tex]
Så kan du evt. forenkle mer selv.
[tex]I = \int \cos^3 x dx = \int \cos x \cdot \cos^2 x dx[/tex]
[tex]u^\prime = \cos x[/tex] [tex]v = \cos^2 x[/tex]
[tex]u = \sin x[/tex] [tex]v^\prime = - 2 \cos x \cdot \sin x[/tex]
[tex]I = \cos^2 x \cdot \sin x - \int -2(\cos x \cdot \sin^2 x) dx[/tex]
[tex]I = \cos^2 x \cdot \sin x + 2J[/tex]
[tex]J = \int \cos x \cdot \sin^2 x dx[/tex]
Kjører substitusjon.
[tex]u = \sin x[/tex], [tex]u^\prime = \cos x[/tex]
[tex]J = \int u^\prime \cdot u^2 dx = \int u^2 du = \frac{1}{3}u^3 + C = \frac{1}{3}\sin^3 x + C[/tex]
Setter inn:
[tex]I = \cos^2 x \cdot \sin x + \frac{2}{3}\sin^3 x + C[/tex]
Så kan du evt. forenkle mer selv.
Sist redigert av sEirik den 15/01-2007 17:04, redigert 1 gang totalt.
-
ingentingg
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
[tex]\cos^2 x = 1-\sin^2 x\\\cos^3x = \cos x(1-\sin^2x)\\u = \sin x \\ \frac{du}{dx} = \cos x[/tex]
-
ingentingg
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
Vil absolutt anbefale substitusjon slik som eg skrev. Den gir mykje mindre arbeid, selv om du delvis integrasjon og fører deg til mål.
Ja, det stemmer:
[tex]\cos^2 x = (\cos x)^2[/tex]
Du kan ikke bruke kjerneregelen omvendt sånn, fordi det ikke er noe som tyder på at du kan det. Det blir som å hoppe i fallskjerm med et håndkle som fallskjerm og ikke vite helt sikkert om det vil fungere. Les om variabelskifte du, så skjønner du
[tex]\cos^2 x = (\cos x)^2[/tex]
Du kan ikke bruke kjerneregelen omvendt sånn, fordi det ikke er noe som tyder på at du kan det. Det blir som å hoppe i fallskjerm med et håndkle som fallskjerm og ikke vite helt sikkert om det vil fungere. Les om variabelskifte du, så skjønner du
du får [tex]\int (1 - u^2) dx[/tex], og det integralet kan du ikke evaluere før du får bort dx og får inn du. Da må du få inn u' i bildet, som her blir cos x, og da får du ikke likningen over på riktig form. Men integralet av cos^3 kan du finne sånn, for da er jo cos en faktor.
Jupp.lasolas skrev:ja det jeg tenkte
men av ren nysgerrighet kan du løse (cosx)^2
?
[tex]\int \cos^2 x = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}\sin 2x) + C[/tex]
Fremgangsmåte kommer en annen gang. Det du gjør er å skrive om, ved å bruke at
[tex]\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x[/tex]
Hehe jeg får vente på fremgangsmåtensEirik skrev:Jupp.lasolas skrev:ja det jeg tenkte
men av ren nysgerrighet kan du løse (cosx)^2
?
[tex]\int \cos^2 x = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}\sin 2x) + C[/tex]
Fremgangsmåte kommer en annen gang. Det du gjør er å skrive om, ved å bruke at
[tex]\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x[/tex]
Hadde matte heldags idag og lurte bare på hvordan jeg skulle gjøre det , siden jeg gjorde feil på den oppgaven. Men trur det ellers gikk bra :pbtw takk for alle svar:)
[tex]I = \int \cos^2 x dx[/tex]
[tex]\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x)[/tex]
[tex]\cos 2x = 2\cos^2x - 1[/tex]
[tex]\cos^2x = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}[/tex]
Da får du
[tex]I = \int (\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}) dx[/tex]
Da klarer du vel resten?
[tex]\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x)[/tex]
[tex]\cos 2x = 2\cos^2x - 1[/tex]
[tex]\cos^2x = \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}[/tex]
Da får du
[tex]I = \int (\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}) dx[/tex]
Da klarer du vel resten?