Volum av rettavkortet pyramide ved integrasjon

[Tommy H]

Oppgaven er hentet fra coSinus 3MX oppgavesamling, og er som følger:
Bruk integrasjon til å finne volumet av en rettavkortet kvadratisk pyramide med siden a i grunnflaten, siden b i toppflaten og høyden h.

Jeg tenker å legge pyramiden på siden og summere arealene til kvadrater uttrykt ved x fra nedre grense 0, til øvre grense h. Men jeg har store problemer med å finne arealene av kvadratene utrykt ved x. Noen som kan hjelpe meg? På forhånd takk.

[Janhaa]

Oppgaven er hentet fra coSinus 3MX oppgavesamling, og er som følger:
Bruk integrasjon til å finne volumet av en rettavkortet kvadratisk pyramide med siden a i grunnflaten, siden b i toppflaten og høyden h.
Jeg tenker å legge pyramiden på siden og summere arealene til kvadrater uttrykt ved x fra nedre grense 0, til øvre grense h. Men jeg har store problemer med å finne arealene av kvadratene utrykt ved x. Noen som kan hjelpe meg? På forhånd takk.

Jeg har lite å bidra med her, men vil anta man tar snitt gjennom den rettavkorta kjegla, hvis areal er x[sup]2[/sup] (som varierer fra b[sup]2[/sup] til a[sup]2[/sup]). Integrerer deretter fra null til h. Vel, på en eller annen måte kommer a og b inn. Jeg vet ikke helt hvordan.

Volumet blir iallfall som under (fra bok):

[tex]V={{1\over 3}h(a^2+b^2+{ab})}[/tex]

Jeg lurer på om noen klarer å vise hele prosedyren her...
synes noen av matte-gutta burde fixe denne...

[ingentingg]

Hvis man tenker seg at man "deler opp" pyramiden fra topp til bunn, akkurat som skiver i et brød. Man kan tenkes at disse skivene(kvadratene) hver har en tykkelse dx.

x må løpe fra 0 til h, og det gjenstår og uttrykke, overflatearealet av kvadratene vha x. Kall siden på kvadratet y. Denne vil da være gitt som:
[tex]f(x) = \frac{x(a-b)}h+b[/tex]

Setter du inn x = 0 får du f(0) = b. x = h gir f(h) = a.

Volumet av hver slik skive blir da: f(x)^2*dx .
[tex]f(x)^2 = \(\frac{x(a-b)}h+b\)^2 = x^2 \frac{(a-b)^2}{h^2} + 2bx\frac{a-b}h + b^2[/tex]

Volumet av hele pyramiden blir da:

[tex]\displaystyle\int_0^h f(x)^2dx = \displaystyle\int_0^h(x^2 \frac{(a-b)^2}{h^2} + 2bx\frac{a-b}h + b^2) dx = \(\frac13 x^3\frac{(a-b)^2}{h^2}+ bx^2\frac{a-b}h + xb^2\)|_0^h \\ = \frac13h(a-b)^2 + bh(a-b) + hb^2 = (\frac13(a^2-2ab+b^2)+ab-b^2+b^2) = \frac13h(a^2+b^2+ab) [/tex]

Siden ab er positivt er det ikke noen hensikt å skrive det som:
[tex]ab = \sqrt{a^2b^2}[/tex]

[ingentingg]

Hvis det ikke hadde stått spesifikt at man skulle løse den med integrasjon ville det jo vært enklere å brukt formel for pyramide 2 ganger. (trukket fra den som ble kuttet av i toppen)

[sEirik]

Hvis det ikke hadde stått spesifikt at man skulle løse den med integrasjon ville det jo vært enklere å brukt formel for pyramide 2 ganger. (trukket fra den som ble kuttet av i toppen)

Som to kjegler med grunnflatene mot hverandre? Det vil i hvert fall gi for lite volum, for da vil man jo få en spiss på begge sider av egget, kantene skal jo være avrundet.

Eller mener du to pyramider på en helt annen måte? At du finner halvparten av volumet ved å legge en pyramide over halvparten av egget og så trekke fra spissen for å få mer riktig form?

Jeg holder meg fortsatt til ellipsoide-tilnærmingen, men selv den er jo ikke helt korrekt, for et egg er jo ovalformet. Jeg tenkte også litt på å legge en parabel etter endepunktene på egget og toppunktet på midten av egget sett fra siden, og brukt dette til å finne omdreiningsvolumet. Men da ville man også fått spisser på endene.

[Tommy H]

Jeg kan ikke si jeg skjønner helt hvordan du kommer frem til f(x). Kunne du forklart det litt nærmere?

[Janhaa]

Hvis man tenker seg at man "deler opp" pyramiden fra topp til bunn, akkurat som skiver i et brød. Man kan tenkes at disse skivene(kvadratene) hver har en tykkelse dx.
x må løpe fra 0 til h, og det gjenstår og uttrykke, overflatearealet av kvadratene vha x. Kall siden på kvadratet y. Denne vil da være gitt som:
[tex]f(x) = \frac{x(a-b)}h+b[/tex]
Setter du inn x = 0 får du f(0) = b. x = h gir f(h) = a.
Volumet av hver slik skive blir da: f(x)^2*dx .
[tex]f(x)^2 = \(\frac{x(a-b)}h+b\)^2 = x^2 \frac{(a-b)^2}{h^2} + 2bx\frac{a-b}h + b^2[/tex]
Volumet av hele pyramiden blir da:
[tex]\displaystyle\int_0^h f(x)^2dx = \displaystyle\int_0^h(x^2 \frac{(a-b)^2}{h^2} + 2bx\frac{a-b}h + b^2) dx = \(\frac13 x^3\frac{(a-b)^2}{h^2}+ bx^2\frac{a-b}h + xb^2\)|_0^h \\ = \frac13h(a-b)^2 + bh(a-b) + hb^2 = (\frac13(a^2-2ab+b^2)+ab-b^2+b^2) = \frac13h(a^2+b^2+ab) [/tex]
Siden ab er positivt er det ikke noen hensikt å skrive det som:
[tex]ab = \sqrt{a^2b^2}[/tex]

Pent arbeid,...skulle vel slite ørlite med den kjenner jeg...

[ingentingg]

sEirik skrev

Som to kjegler med grunnflatene mot hverandre? Det vil i hvert fall gi for lite volum, for da vil man jo få en spiss på begge sider av egget, kantene skal jo være avrundet.

Eller mener du to pyramider på en helt annen måte? At du finner halvparten av volumet ved å legge en pyramide over halvparten av egget og så trekke fra spissen for å få mer riktig form?

Jeg holder meg fortsatt til ellipsoide-tilnærmingen, men selv den er jo ikke helt korrekt, for et egg er jo ovalformet. Jeg tenkte også litt på å legge en parabel etter endepunktene på egget og toppunktet på midten av egget sett fra siden, og brukt dette til å finne omdreiningsvolumet. Men da ville man også fått spisser på endene.

Jeg tror oppgaven spør etter volumet av en pyramide ala de i egypt, bare at de øverste lagene mangler. Den er med andre ord flat på toppen.

Hvordan får du forresten til å skrive "ingentingg skrev" og så innlegget mitt uten sitat i mellom?

Til Tommy H
Siden pyramiden har rette kanter vil "bredden" på pyramiden variere linært. Derfor må den utrykkes ved hjelp av:
f(x) = Ax+B.
A og B er konstanter som må bestemmes.
Vet at bredden skal være b på toppen og a ved bunnen, dermed får vi to likninger med 2 ukjente:

f(0) = b = A*0 + B (1)
f(h) = a = Ah + B (2)

Likning (1) gir B = b. og (1) inn i 2 gir:
a = Ah + b
[tex]A = \frac{a-b}h \vspace{50mm} \\ f(x) = \frac{a-b}hx + b[/tex]

[sEirik]

Åja, jeg bare roter sammen dette innlegget og det med egget.