Vektorer

[krihau]

Hei!
Kan noen være så snill å hjelpe meg med disse oppgavene?

1) Punktene A(6,2,3), B(8,3,4) og C(-1,2,5) er gitt. Punktet e ligger på linjen mellom A og B

a) Forklar at vi kan skrive E(6+2t, 2+t, 3+t)

b) hva blir koordinatene til E dersom CE er vinkelrett på AB?

c) Hva blir avstanden fra C til linjen mellom A og B?

2) Vi kar gitt linjen: l: [ x=2-t y=3+2t z= -1+t ] og planet
3x + y +z - 4= 0

a) Vi har punktet T(1,5,0) og A(2,1,-3) Finn vinkelen mellom AT og planet ved å bruke normalvektoren.

b) Vi tenker oss at punktet S er et vilkårlig punkt på linjen l. Skriv opp koordinatene til S uttrykt ved t

c) Finn den verdien av t som gjør at vinkelen v mellom AS og planet er størst mulig. Hvor stor er v da?

d) Hvordan ligger AS i forhold til linjen i dette tilfellet.

3) En partikkel som beveger seg langs en romkurve er gikk ved

r(t) = [3sin2t, 3cos2t, 8t]
a) Finn fartsvektoren og akselerasjonsvektoren
b) Vis at farten er konstant
c) Vis at fartsvektoren danner en konstant vinkel med vertikallinjen (z-aksen)

d) Forklar at akselerasjonsvektoren er parallell med xy-planet
e) Finn buelengden fra t=0 til t= [symbol:pi]


Kan noen dette eller hvertfall noe av dette? Vær så snill å hjelp meg, det er viktig!

[TurboN]

Huff dette er så lenge siden, så det blir nok IKKE riktig det jeg skriver

a)
AB Vektor= [8-6,3-2,4-3] = [2,1,1]

For å komme til B må du altså 2 i x retning, 1 i y retning og 1 i z retning.
Eller A+AB=B, siden e ligger på AB må AE være paralell med AB, dvs det finnes en t slik at t*AB=AE, så A+t*AB=E
A=(6,2,3) , AB=[2,1,1] , t*AB=[2t,t,t]
E=(6+2t,2+t,3+t)

Er ærlig talt ikke sikker på om dette er lov eller ei, er år og dager siden jeg holdt på med slik matte...... Er sikkert noen som irrettesetter meg om det er galt

b) Må du vel finne CE og så finne skalarproduktet AB*CE for så å sette dette til 0, pga hvis de er vinkelrette er skalarproduktet lik 0
Skalarproduktet er definert som produktet av lengden av vektorene * Cos (mellomliggende vinkel) (tror jeg)

c) Det vil vel bli |CE|

Sorry jeg ikke kunne hjelpet mer/i det hele tatt, men har ikke tid til å pusse støv av videregående skolebøkene mine

[Janhaa]

1:
a)

[tex]E\;=\;[/tex][tex]\vec {AB}\cdot t\;+\;A[/tex]

b)

Når [tex]\;\vec {AB}\;[/tex]
er vinkelrett på
[tex]\vec {CE}[/tex]

[tex]\vec {AB}\cdot \vec {CE}\;=\;0[/tex]

[2, 1, 1]*[7+2t, t, -2+t] = 0


(14 + 4t) + t + (-2 + t) = 0

t = -2

E = (2, 0, 1)


c)

[tex]{\vec {CE}}\;=\;[/tex][tex][3,-2-4][/tex]

[tex]|{\vec {CE}}|\;=\;[/tex][tex]sqrt {3^2+2^2+4^2}\;=\;sqrt {29}[/tex]

Avstanden fra C til linjen (A og B).


2:
a)
[tex]\vec {AT}\;=\;[/tex][tex][-1, 4,3][/tex]

[tex]\vec {n}\;=\;[/tex][tex][3, 1,1][/tex]


[tex]cos(\alpha )\;=\;[/tex][tex]{\vec {AT}\cdot \vec {n}}\over |{\vec {AT}|\cdot | \vec {n}|}[/tex]

[tex]cos(\alpha )\;=\;[/tex][tex]4\over sqrt {286}[/tex][tex]\;\approx 0.237[/tex]

[tex]\alpha\;=\;76.3^o[/tex]

b)

S = (2 - t, 3 + 2t, - 1 + t)

c)
[tex]\vec {AS}\;=\;[/tex][tex][-t, 2+2t,2+t][/tex]

[tex]\vec {n}\;=\;[/tex][tex][3, 1,1][/tex]


[tex]cos(v )\;=\;[/tex][tex]{\vec {AS}\cdot \vec {n}}\over |{\vec {AS}|\cdot | \vec {n}|}[/tex]

[tex]cos(v)\;=\;[/tex][tex]{4\over sqrt {11}}{1\over sqrt {6t^2+12t+8}}[/tex]

for å finne max v deriveres uttrykket under kvad.rot = 0:

(6t[sup]2[/sup] + 12t + 8) ' = 12t + 12 = 0

t = -1

[tex]cos(v)\;=\;[/tex][tex]{4\over sqrt {11}}{1\over sqrt {2}}[/tex]

[tex]cos(v)\;\approx \;0.852[/tex]

[tex]v\;\approx \;31.6^o[/tex]

d)
[tex]\vec {AS}\;=\;[/tex][tex][1,0,1][/tex]

og retningsvektor til linja

[tex]\vec {r_l}\;=\;[/tex][tex][-1,2,1][/tex]

da sees at:

[tex]\vec {AS}\cdot \vec {r_l}\;=\;0[/tex]

altså er [tex]\;\vec {AS}[/tex]
vinkelrett på linja


3: kommer sikkert imorra...

[Janhaa]

Hei!
Kan noen være så snill å hjelpe meg med disse oppgavene?
3) En partikkel som beveger seg langs en romkurve er gikk ved
r(t) = [3sin2t, 3cos2t, 8t]
a) Finn fartsvektoren og akselerasjonsvektoren
b) Vis at farten er konstant
c) Vis at fartsvektoren danner en konstant vinkel med vertikallinjen (z-aksen)
d) Forklar at akselerasjonsvektoren er parallell med xy-planet
e) Finn buelengden fra t=0 til t= [symbol:pi]
Kan noen dette eller hvertfall noe av dette? Vær så snill å hjelp meg, det er viktig!

----------------------------------------------------------------------
a)
[tex]\vec v\;=\;[/tex][tex]\vec r `\;=\;[/tex][tex][6cos(2t), -6sin(2t), 8][/tex]

[tex]\vec a\;=\;[/tex][tex]\vec r ``\;=\;[/tex][tex][-12sin(2t), -12cos(2t), 0][/tex][tex]\;=\;{\vec v`[/tex]


b)
[tex]|\vec v |[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]sqrt{6^2[sin^2(2t)+cos^2(2t)]+64}[/tex]

[tex]|\vec v |[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]sqrt{100}\;=\;10[/tex]
farten er konstant

c)
z-aksen har [tex]\vec n_z\;=\;[/tex][tex][0,0,1][/tex]

[tex]\vec v \cdot \vec n_z [/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]|\vec v |\cdot [/tex][tex]|\vec n|\cdot cos(\alpha) [/tex]e

[tex]8\;=\;10\cdot cos(\alpha )[/tex]

[tex]{4\over 5}\;=\; cos(\alpha )[/tex]

[tex]{\alpha }\;=\;36.9^o[/tex]

konstant vinkel med z-aksen

d)


[tex]\vec a || \vec n_{xy} [/tex]
dvs
[tex]\vec a \;=\;k\cdot \vec n_{xy} [/tex]

[tex][-12sin(2t),-12cos(2t),0]\;=\;k\cdot [0,0,1][/tex]


e)

[tex]{L\;=\;}\int_0^\pi sqrt{(x`)^2+(y`)^2}dt[/tex]

ser fra b) at:

[tex]{L\;=\;}\int_0^\pi sqrt{36}dt[/tex]


[tex]{L\;=\;}[sqrt{36}t]_0^\pi[/tex]

[tex]{L\;=\;}\pi sqrt{36}[/tex]