Jeg har en haug med oppgaver der det står at jeg skal bevise ditt og datt. Er det noen som har peiling på hvordan man skal gå frem?
Eksempelvis: Bevis følgende regler for naturlige tall n:
1^2+3^2+...+(2n-1)^2 = (1/3)n((4n^2)-1)
Her regner jeg med at jeg skal benytte meg av summasjonstegn, og jeg vet at 2n-1 er en måte å skrive oddetall på. i tillegg vet jeg at et oddetall kvadrert er summen av det oddetallet sammen med alle oddetall før det.(tror jeg ihvertfall) Men hvordan skal jeg gå frem for å få dette frem på en forståelig måte?
Hvordan i all verden skal man presentere dette beviset?
PÅ forhånd takk.
Problemer med tallteori.
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jau. Problemet er ikke å se sammenhengen eller noe slikt, hovedproblemet mitt ligger i hvordan jeg skal presentere det jeg kommer frem til. Skal jeg i tillegg til dette legge ved hva man finner for en del verdier av n? Skal jeg kunne regne med generelle størrelser eller skal jeg gå frem på en eller annen måte her som jeg ikke har tenkt på? Induksjon, er som du sier cauchy, tingen. Men presentasjonen sliter jeg nok litt med..
Rett meg gjerne om jeg tar feil her.
Man har 2n-1 er odde. Man har at 1+3+5+7+...+2n-1 = n^2 og at n^2 er odd også. I følge boka mi skal kvadratet av et oddetall være et oddetall så vi får (n^2) ^2, eller n^4 her tenker jeg. Men hodet virker ikke som om det er helt med i dag.
Hilfe?
Man har 2n-1 er odde. Man har at 1+3+5+7+...+2n-1 = n^2 og at n^2 er odd også. I følge boka mi skal kvadratet av et oddetall være et oddetall så vi får (n^2) ^2, eller n^4 her tenker jeg. Men hodet virker ikke som om det er helt med i dag.
Hilfe?
FÅr det ikke til her.. Får sånn ca fire forskjellige svar alt etter hvordan jeg gjør dette.
Kan noen vise meg fremgangsmåten? Skal jeg sette inn n=k+1 på begge sider for verdier av n, legge til et ledd(som det ser ut som i boka), utvide brøker eller hva?
Nødskrik!
Kan noen vise meg fremgangsmåten? Skal jeg sette inn n=k+1 på begge sider for verdier av n, legge til et ledd(som det ser ut som i boka), utvide brøker eller hva?
Nødskrik!
Du skal vel bevise setningen for alle naturlige tall.
(1) Presenter setningen, og si kall påstanden P(n) der n er n fra setningen. Si gjerne at beviset vil bli et induksjonsbevis.
(2) Bevis at P(1) stemmer
Dette gjør du ved å sette inn 1 for n i uttrykket til høyre, og kontrollere at dette stemmer med det du har til venstre.
(3) Skriv "Anta at P(n) stemmer, da må P(n+1) også stemme, fordi"
Så tar du setningen, og legger til like mye på begge sider.
[tex]1^2+3^2+...+(2n-1)^2 = \frac{1}{3}n(4n^2-1)[/tex]
Legger i dette tilfellet til (2(n+1) - 1)^2 på begge sider. Dette tilsvarer (2n+1)^2
[tex]1^2+3^2+...+(2n-1)^2 + (2n+1)^2 = \frac{1}{3}n(4n^2-1) + (2n+1)^2[/tex]
(4) Omform uttrykket til høyre slik at det stemmer.
Dette involverer en del utviding av paranteser og faktorisering.
(5) Evt. avslutt med "Når P(1) stemmer, må nødvendigvis P(2) stemme, og da må P(3) stemme, og så videre, og dette betyr at P(n) holder for alle naturlige tall n."
(6) Og sist, men ikke minst. "Q.E.D."!
(1) Presenter setningen, og si kall påstanden P(n) der n er n fra setningen. Si gjerne at beviset vil bli et induksjonsbevis.
(2) Bevis at P(1) stemmer
Dette gjør du ved å sette inn 1 for n i uttrykket til høyre, og kontrollere at dette stemmer med det du har til venstre.
(3) Skriv "Anta at P(n) stemmer, da må P(n+1) også stemme, fordi"
Så tar du setningen, og legger til like mye på begge sider.
[tex]1^2+3^2+...+(2n-1)^2 = \frac{1}{3}n(4n^2-1)[/tex]
Legger i dette tilfellet til (2(n+1) - 1)^2 på begge sider. Dette tilsvarer (2n+1)^2
[tex]1^2+3^2+...+(2n-1)^2 + (2n+1)^2 = \frac{1}{3}n(4n^2-1) + (2n+1)^2[/tex]
(4) Omform uttrykket til høyre slik at det stemmer.
Dette involverer en del utviding av paranteser og faktorisering.
(5) Evt. avslutt med "Når P(1) stemmer, må nødvendigvis P(2) stemme, og da må P(3) stemme, og så videre, og dette betyr at P(n) holder for alle naturlige tall n."
(6) Og sist, men ikke minst. "Q.E.D."!
Last edited by sEirik on 04/10-2006 23:01, edited 1 time in total.
