Trigonometrisk likning med Cosinus og Sinus

[Veps]

Løs likningen :

sin x - [symbol:rot]3 cos x = 1, xE[0,2 [symbol:pi] ]

Hadde vært greit om det hadde vært = 0, men med =1 så kan man ikke dele på cos x.
Hadde trengt litt hjelp

Takker for alle som tar seg tid til å svare

[Janhaa]

Gitt:

sin(x) - √( 3)*cos(x) = 1 , x element [0, 2 [symbol:pi] ]
setter den på vektorform:
[ -√ 3, 1] [cos(x), sin(x)] = 1
√ (- √ 3)[sup]2[/sup] + 1[sup]2[/sup]) sin (x - fi )= 1
sin (x - fi )= 1/2

tan(fi) = ( √ 3)/1 = √ 3
(fi = den greske bokstav phi som er en vinkel i 1. kvadrant)
for 0 < fi < [symbol:pi] /2 gir dette
fi = [symbol:pi] /3

Gir løsningene:
(x - fi )= arc sin(1/2)

x[sub]1[/sub] - ( [symbol:pi] /3) = ( [symbol:pi] /6) + k*2 [symbol:pi] , k element i z
og
x[sub]2[/sub] - ( [symbol:pi] /3) = (5 [symbol:pi] /6) + k*2 [symbol:pi]

x[sub]1[/sub] = ( [symbol:pi] /3) + ( [symbol:pi] /6) + k*2 [symbol:pi]
og
x[sub]2[/sub] = ( [symbol:pi] /3) + (5 [symbol:pi] /6) + k*2 [symbol:pi]

x[sub]2[/sub] = 7 [symbol:pi] /6
og
x[sub]1[/sub] = [symbol:pi] /2

Setter prøve på: sin(x) - √( 3)*cos(x) = 1.
VS for x[sub]2[/sub] = 7 [symbol:pi] /6:
sin(7 [symbol:pi] /6) - √( 3)*cos(7 [symbol:pi] /6) = -0.5 +1.5 = 1, som er lik HS: 1, ok

VS for x[sub]1[/sub] = [symbol:pi] /2:
sin( [symbol:pi] /2) - √( 3)*cos( [symbol:pi] /2) = 1.0 + 0 = 1, som er lik HS: 1, ok

Ergo er x[sub]2[/sub] = 7 [symbol:pi] /6
og x[sub]1[/sub] = [symbol:pi] /2 riktige løsninger

[Veps]

Tusen takk