Avstand mellom to grafer

[hansslang]

Hei! Jeg støtte på en oppgave i Sinus R1 boken som var litt lei å løse. Screenshot er vedlagt. Det er da på spørsmål e) som jeg ikke skjønner hvordan jeg skal tenke for å få fram alle løsningene. Slik har jeg resonnert:

Den største mulige avstanden mellom de to grafene er en skrå linje av noe slag. Om vi har to punkter [tex](a,A(a))[/tex] og [tex](b, B(b))[/tex], der [tex]a \neq b[/tex], kan vi bruke pythagoras for å få fram den skrå linjen som går mellom punktene. Da får vi en likning [tex]S = \sqrt{(b-a)^{2}+(B(b)-A(a))^{2}}[/tex].
Videre kan vi derivere [tex]S[/tex] først med hensyn på [tex]a[/tex] og så med hensyn på [tex]b[/tex], og så få CAS til å løse likningssettet [tex]S'(a)=0[/tex]
[tex]S'(b)=0[/tex]
Da fikk jeg tre løsninger, hvorav en der [tex]a = 80[/tex] og [tex]b = 120[/tex] gir punktene [tex](80, A(80))=(80, 120)[/tex] og [tex](120, B(120))=(120, 320)[/tex], hvilket også står i fasit. Men de to andre løsningene jeg fikk gir ikke noen punkter som står i fasit, ej heller gir de punkter der avstanden er like stor som mellom punktene [tex](80,120)[/tex] og [tex](120,320)[/tex], så dette er altså ikke korrekte løsninger. I fasit står det også at avstanden mellom de to skjæringspunktene er like stor som den mellom punktene [tex](80,120)[/tex] og [tex](120,320)[/tex]. Hvordan har de kommet fram til dette? Er det bare ved å se på grafen og tenke seg at avstanden mellom skjæringspunktene burde gi en stor avstand? Eller finnes det en annen, enklere måte å komme fram til løsningene på?

Takker for alle typer av svar!

[Mattebruker]

Vedk. spm. e :
Interessant problemstilling ! Du er på rett veg i resonnementet ditt.

Gitt at vi held oss til heiltallige argument for A- og B-funksjonen , er det fullt muleg å løyse dette problemet ved å lage eit dataprogram i f. eks. Python- kode.
Hint: Legg inn teljevariablane i og j i ei dobbelløkke:
for i in range ( 0 , 201 ):
for j in range( 0, 201 ):
o.s.v........

[hansslang]

Det var ikke så dumt nei! Men ja, da blir det jo begrenset til heltallsløsninger så det blir ikke en så bra framgangsmåte for problem der det kanskje ikke er heltall som er løsningen.

[Mattebruker]

Her har du eit vesentleg poeng. Når det er sagt, må vi legge til at fasit opererer med berre heiltalsløysingar når det gjeld moglege x-verdiar.
Har koda problemet i Python 3, og da er det tilfredsstillande å registrere at dataprogrammet greier å plukke ut dei punkta som er oppgitt i fasit.

[hansslang]

Hadde jeg kunnet se koden? Kanskje lærer meg en ting eller to!

[Mattebruker]

Python 3 - kode følgjer vedlagt. God fornøyelse !

Code: Select all

from pylab import *
def f( x ):
  return 1/100*(x**2) - 1.8*x + 200
def g( x ):
  return -1/100*x**2 + 2.2*x + 200
max = 100 # gir variablen max ein startverdi
#
# finne største avstand ( max ) innafor området
#
for i in range( 0, 201):
  for j in range(0 , 201):
    avstand = ( i - j)**2 + (f(i) - g(j))**2
    if avstand > max:
      max = avstand
#
# plukkar ut punkta med størst avstand   
#
max = sqrt(max)
maxavstand = round(max*1000)/1000
for k in range( 0,201):
  for l in range(0,201):
    avstand = (k - l)**2 +(f(k) - g(l))**2 
    avstand = sqrt(avstand)
    avstand = round(avstand*1000)/1000
    if avstand == maxavstand: 
      print("(" ,k,",",f(k),")", "(", l , ",", g(l), ")")