Matematikk S2

[anon300]

Hei

Skjermbilde 2021-05-25 kl. 00.40.06.png (135.32 kiB) Vist 5073 ganger

Jeg sitter fast med oppgave b)
Har klart oppgave a) og fikk følgende svar:

15. terminer: 49.812, 80 kr
20. terminer: 41.839, 70 kr

I oppgave b) prøvde jeg å finne summen med:
a1= (41.839, 70 kr)/1.055
k = 1/1.055
n = 15

Og gjorde det samme men med n = 20
Til slutt tok jeg differansen mellom svarene til disse, og regnet med at dette er restgjelden Bølge skylder.

Fasit: 178.667, 29 kr

[jos]

Hei igjen!

Rett etter den 15. betalingen ville det være 5 nedbetalinger igjen. Da må restlånet i banken være lik nåverdien av disse 5 nedbetalingene. Gitt at 20 års nedbetaling var valgt, ville det faste terminbeløpet være kr 39658. (Her tror jeg du har gjort en regnefeil under a).

Restlån = $\frac{39658}{1.055} + \frac{39658}{1.055^2} + \cdot\, \cdot\,+\, \frac{39658}{1.055^5} = 178665$

[anon300]

Hei igjen!

Rett etter den 15. betalingen ville det være 5 nedbetalinger igjen. Da må restlånet i banken være lik nåverdien av disse 5 nedbetalingene. Gitt at 20 års nedbetaling var valgt, ville det faste terminbeløpet være kr 39658. (Her tror jeg du har gjort en regnefeil under a).

Restlån = $\frac{39658}{1.055} + \frac{39658}{1.055^2} + \cdot\, \cdot\,+\, \frac{39658}{1.055^5} = 178665$

Hei igjen
Du er en livredder! Tusen takk

Men i oppgave a) fikk jeg det samme som det som står i fasiten:

Skjermbilde 2021-05-25 kl. 10.03.06.png (126.78 kiB) Vist 5034 ganger

Gjorde det på følgende måte:

Skjermbilde 2021-05-25 kl. 10.02.47.png (629.3 kiB) Vist 5034 ganger

Men nå prøvde jeg faktisk å regne ut summen med en geometrisk rekke med 5 som n, og fikk det samme som fasiten
Men det jeg egentlig ikke skjønte (kanskje ikke så nødvendig mtp. at jeg har klart oppgaven) at hvorfor Summen av 20n - Summen av 15n ikke gir det samme svaret som summen av bare 5n?

Tusen takk for hjelpen

[jos]

Du har rett. Jeg gjorde en feil i utregningen av terminbeløpene. Terminbeløpet skal være som du og fasiten sier: kr 41840, når lånet løper over 20 år. Hvis man da setter inn dette beløpet i formelen for restlånet, får man:

Restlån $\, = \frac{41840}{1.055} +\frac{41840}{1.055^2} +\,\cdot\,\cdot\,+\,\frac{41840}{1.055^5} = 178669$

Av en eller annen grunn fikk jeg så godt som det samme svaret med feil input, altså en ny feil som opphevet den første!

rettet kl 12.57 25/5 -21

[LektorNilsen]

Men det jeg egentlig ikke skjønte (kanskje ikke så nødvendig mtp. at jeg har klart oppgaven) at hvorfor Summen av 20n - Summen av 15n ikke gir det samme svaret som summen av bare 5n?

Tusen takk for hjelpen

Det er forskjell på summen av nåverdiene til de 5 neste innbetalingene, og summen av nåverdiene til innbetaling nummer 16, 17, 18, 19 og 20 fra i dag.
Når lånet skal innfris etter 15. innbetaling, flyttes "i dag", sammenlignet med hva som var "i dag" da man tok opp lånet.
Kanskje litt "kronglete" forklart, men håper det gir noe mening

[anon300]

Men det jeg egentlig ikke skjønte (kanskje ikke så nødvendig mtp. at jeg har klart oppgaven) at hvorfor Summen av 20n - Summen av 15n ikke gir det samme svaret som summen av bare 5n?

Tusen takk for hjelpen

Det er forskjell på summen av nåverdiene til de 5 neste innbetalingene, og summen av nåverdiene til innbetaling nummer 16, 17, 18, 19 og 20 fra i dag.
Når lånet skal innfris etter 15. innbetaling, flyttes "i dag", sammenlignet med hva som var "i dag" da man tok opp lånet.
Kanskje litt "kronglete" forklart, men håper det gir noe mening

Å ja, jeg tror jeg skjønte det du sier her
Rett på meg hvis jeg tar feil: så det jeg på måte fant ut var nåverdien for 16-20 for i dag, men i praksis så skal man finne nåverdien etter innbetaling nr 15, og da starter man liksom "på nytt". Hvis dette er riktig tenkt, så gir det faktisk mening.

Tusen takk til dere begge
Dette gjorde meg en smule klokere

[LektorNilsen]

Men det jeg egentlig ikke skjønte (kanskje ikke så nødvendig mtp. at jeg har klart oppgaven) at hvorfor Summen av 20n - Summen av 15n ikke gir det samme svaret som summen av bare 5n?

Tusen takk for hjelpen

Det er forskjell på summen av nåverdiene til de 5 neste innbetalingene, og summen av nåverdiene til innbetaling nummer 16, 17, 18, 19 og 20 fra i dag.
Når lånet skal innfris etter 15. innbetaling, flyttes "i dag", sammenlignet med hva som var "i dag" da man tok opp lånet.
Kanskje litt "kronglete" forklart, men håper det gir noe mening

Å ja, jeg tror jeg skjønte det du sier her
Rett på meg hvis jeg tar feil: så det jeg på måte fant ut var nåverdien for 16-20 for i dag, men i praksis så skal man finne nåverdien etter innbetaling nr 15, og da starter man liksom "på nytt". Hvis dette er riktig tenkt, så gir det faktisk mening.

Tusen takk til dere begge
Dette gjorde meg en smule klokere

Akkurat det jeg mente

[jos]

Man kan også komme frem til samme resultat ut fra følgende betraktning:

La $L_0$ våre det opprinnelige lånebeløpet, $t$ terminbeløpet, $k = 1 + \frac{1}{100}$ vekstfaktoren og $L_n$ lånebeløpet etter n_te innbetaling.

$L_1 = L_0 * k - t$

$L_2 = L_1 * k - t = L_0 * k^2 - k * t - t$

$L_3 = L_2 * k - t = L_0 * k ^3 - t * k^2 - t * k - t$

$L_4 = L_3 * k^4 = L_0 * k^4 - t * k^3 - t * k^2 - t * k - t$

$\cdot$

$\cdot$

$L_n = L _0 * k^n - t *k^{n-1} - t * k^{n-2} - \cdot \,\cdot\, - t * k - t$

$L_n = L_0 * k^n - (t + t * k + t * k^2 + \cdot\, \cdot \, +\, t * k^{n-1})$

Lånebeløpet rett etter den n-te innbetalingen vil altså bestå av to deler, $L_0 * k^n,\,$ som angir hva lånebeløpet ville ha vært uten noen innbetalinger og $t + t * k + t * k^2 + \cdot\, \cdot \, +\, t * k^{n-1}$ som angir hva som må trekkes fra på grunn de n terminbeløpene som har forrentet seg i perioden.


La m være antall innbetalinger for hele lånebeløpet $L_0$. Da har vi:

$ \frac{t}{k} + \frac{t}{k^2} + \cdot \, \cdot\, + \frac{t}{k^m} = L_0$

Vi multipliserer med $k^n$ på begge sider av likningen:

$t * k^{n-1} + t * k^{n-2} + \cdot\, \cdot\,+\, t + \frac{t}{k} + \frac{t}{k^2} +\cdot\,\cdot\,+\frac{t}{k^{m-n}} = L_0 * k^n$

$ \frac{t}{k} + \frac{t}{k^2} +\cdot\,\cdot\,+\frac{t}{k^{m-n}} = L_0 * k^n -(
t * k^{n-1} + t * k^{n-2} + \cdot\, \cdot\,+\, t)$

Vi setter: $ m = 20, n = 15, k = 1.055, t = 41840 $ og $L_0 = 500 000$:

$\frac{41840}{1.055} + \frac{41840}{1.055^2} + \cdot\,\cdot \,+\frac{41840}{1.055^5} = 500000 * 1.055^{15} - (41840 + 41840 * 1.055 + 41840 * 1.055^2 + \cdot,\cdot\,+\,1.055^{14})$

Her ser vi at det å regne ut nåverdien av de siste fem innbetalingene, hvor nåverdien er vurdert ut fra tiden rett etter 15-nde innbetaling, gir samme resultat for restlånet i banken som det å regne ut hva lånebeløpet ville ha vært etter 15 år uten innbetalinger fratrukket de 15 innbetalingene med rentes rente.

[anon300]

Akkurat det jeg mente [/quote]

Så bra!
Takk nok en gang

[anon300]

Man kan også komme frem til samme resultat ut fra følgende betraktning:

La $L_0$ våre det opprinnelige lånebeløpet, $t$ terminbeløpet, $k = 1 + \frac{1}{100}$ vekstfaktoren og $L_n$ lånebeløpet etter n_te innbetaling.

$L_1 = L_0 * k - t$

$L_2 = L_1 * k - t = L_0 * k^2 - k * t - t$

$L_3 = L_2 * k - t = L_0 * k ^3 - t * k^2 - t * k - t$

$L_4 = L_3 * k^4 = L_0 * k^4 - t * k^3 - t * k^2 - t * k - t$

$\cdot$

$\cdot$

$L_n = L _0 * k^n - t *k^{n-1} - t * k^{n-2} - \cdot \,\cdot\, - t * k - t$

$L_n = L_0 * k^n - (t + t * k + t * k^2 + \cdot\, \cdot \, +\, t * k^{n-1})$

Lånebeløpet rett etter den n-te innbetalingen vil altså bestå av to deler, $L_0 * k^n,\,$ som angir hva lånebeløpet ville ha vært uten noen innbetalinger og $t + t * k + t * k^2 + \cdot\, \cdot \, +\, t * k^{n-1}$ som angir hva som må trekkes fra på grunn de n terminbeløpene som har forrentet seg i perioden.


La m være antall innbetalinger for hele lånebeløpet $L_0$. Da har vi:

$ \frac{t}{k} + \frac{t}{k^2} + \cdot \, \cdot\, + \frac{t}{k^m} = L_0$

Vi multipliserer med $k^n$ på begge sider av likningen:

$t * k^{n-1} + t * k^{n-2} + \cdot\, \cdot\,+\, t + \frac{t}{k} + \frac{t}{k^2} +\cdot\,\cdot\,+\frac{t}{k^{m-n}} = L_0 * k^n$

$ \frac{t}{k} + \frac{t}{k^2} +\cdot\,\cdot\,+\frac{t}{k^{m-n}} = L_0 * k^n -(
t * k^{n-1} + t * k^{n-2} + \cdot\, \cdot\,+\, t)$

Vi setter: $ m = 20, n = 15, k = 1.055, t = 41840 $ og $L_0 = 500 000$:

$\frac{41840}{1.055} + \frac{41840}{1.055^2} + \cdot\,\cdot \,+\frac{41840}{1.055^5} = 500000 * 1.055^{15} - (41840 + 41840 * 1.055 + 41840 * 1.055^2 + \cdot,\cdot\,+\,1.055^{14})$

Her ser vi at det å regne ut nåverdien av de siste fem innbetalingene, hvor nåverdien er vurdert ut fra tiden rett etter 15-nde innbetaling, gir samme resultat for restlånet i banken som det å regne ut hva lånebeløpet ville ha vært etter 15 år uten innbetalinger fratrukket de 15 innbetalingene med rentes rente.

Å ja, ikke sant
Ser sammenhengen nå. Men da er det også viktig å gange lånebeløpet med rentefaktoren ^nte, noe som jeg overså i oppgaven min da jeg brukte denne metoden.

Takk for info