Linjeintegral og notasjon

[kaninen123]

la [tex]c:[0,1]\subset \mathbb{R}^2 \rightarrow [0,1]\subset \mathbb{R}^2[/tex] være en del av sirkelen [tex]x^2 + y^2=1[/tex]
Regn ut linjeintegralet [tex]\int_{c} \textbf{F} \cdot d\textbf{s}[/tex]

Jeg vet at [tex]\textbf{F}[/tex] er et konservativt vektorfelt og jeg har funnet potensialfunksjonen til [tex]\textbf{F}[/tex]

hva betyr dette: [tex]c:[0,1]\subset \mathbb{R}^2 \rightarrow [0,1]\subset \mathbb{R}^2[/tex] ?

er det start og slutt koordinatene?

samtidig kan jeg vell parametrisere denne som [tex]c(t)=[cos t, sin t][/tex] ettersom vi har en sylinder med radius 1?

så det jeg ikke helt skjønner er hvor jeg plotter inn 0 og 1, og hva det egentlig betyr.
Det jeg har tenkt er at den starter i [tex][0,1][/tex] og roterer videre rundt hele enhetssirkelen og tilbake til start, som gjør at vi får en lukket kurve?

[Gustav]

hva betyr dette: [tex]c:[0,1]\subset \mathbb{R}^2 \rightarrow [0,1]\subset \mathbb{R}^2[/tex] ?

Det må være en feil i oppgaveformuleringen. Den setningen gir ingen mening.

[kaninen123]

hva betyr dette: [tex]c:[0,1]\subset \mathbb{R}^2 \rightarrow [0,1]\subset \mathbb{R}^2[/tex] ?

Det må være en feil i oppgaveformuleringen. Den setningen gir ingen mening.

Mistenker det samme selv.
Tidligere i like oppgaver har vi feks fått oppgitt; la [tex]c:[0,\pi]\rightarrow \mathbb{R}^2[/tex] være en parameterisering gitt ved [tex]c(t)=[cos t, sint][/tex]

spurte faglærer om hjelp til denne oppgaven, og ifølge han skulle jeg tenkte at både x og y ligger mellom 0 og 1, men føler ikke det hjelper meg noe.
Vet ikke om det hjelper noe, men kan legge ved hele oppgaveteksten.

[kaninen123]

Dersom jeg skal gjøre som faglærer sier at både x og y ligger mellom 0 og 1 så:
Potensialet til funksjonen har funnet som:
[tex]f(x,y)= x^2y^4+y+cos(x)+x^3[/tex]

[tex]f(c(1,1)) - f(c(0,0))[/tex]
[tex]= (1+1+1)-(1)=2[/tex]

kan dette være en løsning?

[Emilga]

la [tex]c:[0,1]\subset \mathbb{R}^2 \rightarrow [0,1]\subset \mathbb{R}^2[/tex] være en del av sirkelen [tex]x^2 + y^2=1[/tex]
[...]
hva betyr dette: [tex]c:[0,1]\subset \mathbb{R}^2 \rightarrow [0,1]\subset \mathbb{R}^2[/tex] ?

Jeg ville tolket denne setningen på følgende måte: La $c$ være en funksjon med definisjonsmengde lik intervallet $[0,1]$ (som er en undermengde av $\mathbb{R}^2$) og verdimengde lik $[0,1]$ (som også er en undermengde av $\mathbb{R}^2$).

Dvs. $x$ skal ligge mellom $0 \leq x \leq 1$ som da gir $0 \leq c(x) \leq 1$.

Dette er en litt kronglete formulering etter min mening. Men det betyr altså at $c(x) = \sqrt{1-x^2}$ for $x \in [0,1]$.

Også dette integralet blir litt rart,

Regn ut linjeintegralet [tex]\int_{c} \textbf{F} \cdot d\textbf{s}[/tex]

siden vi vanligvis definerer et linjeintegral over en kurve (med en dertilhørende parametrisering som angir orienteringen til kurven). Mens her er linjeintegralet definert over en funksjon.

Jeg ville heller definert kurven slik: La $\mathcal{C} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \,| x^2 + y^2 = 1, x \geq 0 \land y \geq 0\}$. Og skrevet integralet slik: $ \int_\mathcal{C} \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{s}$, og så påpekt hvilken orientering vi skulle bruke. (Mot eller med klokken.)

Vi kan parameterisere denne kurven ved f.eks. $\boldsymbol{c}(t) = [ \cos t, \sin t]$ for $t \in [0, \frac{\pi}2]$. (Men merk at $\boldsymbol{c}$ nå blir $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$, i motsetning til oppgaven.) Orienteringen er gitt implisitt i parameteriseringen: stigende verdier av parameteren $t$ viser at vi har parameterisert mot klokken.

Uansett: siden vektorfeltet er konservativt, dvs. $ \boldsymbol{F} = \nabla f$, så trenger vi ikke parameteriseringen, vi trenger bare orienteringen og koordinatene til endepunktene:

$$ \int_\mathcal{C} \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{s} = f |^B_A = f(B) - f(A),$$
Der $A$ er startpunktet til kurven, og $B$ er endepunktet til kurven.

Dersom vi snur orienteringen, så bytter vi om start- og sluttpunktet, og integralet får dermed samme tallverdi men med motsatt fortegn. (Merk også at for et konservativt vektorfelt så er linjeintegralet uavhengig av kurven, det vil si at vi får det samme tallsvaret for alle mulige kurver som starter i $A$ og slutter i $B$.)

[kaninen123]

Takk for utfyllende svar! Tror jeg var med på forklaringen din.

[Gustav]

Jeg ville tolket denne setningen på følgende måte: La $c$ være en funksjon med definisjonsmengde lik intervallet $[0,1]$ (som er en undermengde av $\mathbb{R}^2$) og verdimengde lik $[0,1]$ (som også er en undermengde av $\mathbb{R}^2$).

$[0,1]$ er strengt tatt ikke en delmengde i $\mathbb{R}^2$, da måtte man i tilfelle sagt f.eks. $[0,1]\times 0$ eller noe. Høres ut som en merkelig og tvetydig måte å formulere en oppgave på i så fall.

[Aleks855]

Virker som Emil mente "undermengde av $\mathbb R$".

Men uansett så er oppgaven veldig rart formulert fra før.

[Emilga]

Jeg mente faktisk å skrive $[0,1] \subset \mathbb{R}^2$, så det blir riktig som Gustav påpeker at $[0,1]$ strengt tatt ikke er en undermengde av $\mathbb{R}^2$.