Likning med sin og cos

[Gjest]

Jeg sliter med en likning, kan noen hjelpe?

-100cos([symbol:pi]t/6) + 173sin([symbol:pi]t/6) = 100

Hvordan går jeg frem for å luke ut t?

[Solar Plexsus]

-100*cos(πt/6) + 173*sin(πt/6) = 100

173*sin(πt/6) = 100 - 100*cos(πt/6)

173[sup]2[/sup]*sin[sup]2[/sup](πt/6) = 100[sup]2[/sup][1 - cos(πt/6)][sup]2[/sup]

173[sup]2[/sup][1 - cos[sup]2[/sup](πt/6)] = 100[sup]2[/sup][1 - 2*cos(πt/6) + cos[sup]2[/sup](πt/6)] osv.

39929*cos[sup]2[/sup](πt/6) - 20000*cos(πt/6) - 19929 = 0 osv.

[ahe753]

[tex]-100cos(\frac{\pi t}{6}) + 173sin(\frac{\pi t}{6}) = 100[/tex]

[tex]-cos(\frac{\pi t}{6}) + 1,73sin(\frac{\pi t}{6}) = 1[/tex]

[tex]1,73sin(\frac{\pi t}{6}) = 1+cos(\frac{\pi t}{6})[/tex]

[tex](1,73sin(\frac{\pi t}{6}))^2 = (1+cos(\frac{\pi t}{6}))^2[/tex]

[tex]1,73^2sin^2(\frac{\pi t}{6}) = 1+2cos(\frac{\pi t}{6})+cos^2(\frac{\pi t}{6})[/tex]

[tex]1,73^2(1-cos^2(\frac{\pi t}{6})) = 1+2cos(\frac{\pi t}{6})+cos^2(\frac{\pi t}{6})[/tex]

[tex](1+1,73^2)cos^2(\frac{\pi t}{6})+2cos(\frac{\pi t}{6})+1-1,73^2=0[/tex]

Dersom vi nå setter

[tex]x=cos(\frac{\pi t}{6})[/tex]

så kjenner vi lettere igjen andregradsligningen

[tex](1+1,73^2)x^2+2x+1-1,73^2=0[/tex]

Løser denne mhp x:

[tex]x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1+1,73^2)(1-1,73^2)}}{2(1+1,73^2)}[/tex]

[tex]x=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1-1,73^2)}}{2(1+1,73^2)}[/tex]

Denne gir x-verdiene:

[tex]x \approx 0,245 \; \wedge \; x \approx -0,746[/tex]

Så løser vi mhp t:

[tex]cos(\frac{\pi t}{6})=0,245 \Rightarrow \frac{\pi t}{6}=arccos(0,245) \Rightarrow t = \frac{6 \cdot arccos(0,245)}{\pi}[/tex]

[tex]cos(\frac{\pi t}{6})=-0,746 \Rightarrow \frac{\pi t}{6}=arccos(-0,746) \Rightarrow t = \frac{6 \cdot arccos(-0,746)}{\pi}[/tex]

Jeg har en følelse av at noe er gjort galt her, men jeg er for trøtt til å finne ut av det nå... Om ovenstående kan være en del av løsningsmengden til t, så er det i så fall kun en del av løsningsmengden til t, ettersom dette er periodiske funksjoner og ofte har uendelig mange løsninger.

[Gjest]

Hvilke to regler har dere brukt her?

Tenker på :

(1+cos(..))[sup]2[/sup] = 2cos(..)+cos[sup]2[/sup](..)

og

sin[sup]2[/sup](..) = 1-cos[sup]2[/sup](..)

[Gjest]

.. og hva betyr det egentlig når [sup]2[/sup] står etter cos eller sin og ikke etter hele uttrykket?