Derivasjon og optimering

[jjberg]

Sliter litt med å forstå oppgave 8.191 i Sinus 1T (2014).

Fant en forklaring i linken under fra dette forumet, men ble ikke klokere av det. Håper noen kan hjelpe meg.
https://matematikk.net/matteprat/viewto ... cm#p148875

Oppgaven er som følger:

Et rektangel har omkrets 36 cm og sider x cm og y cm (x er den lengste siden, og den som ligger vannrett på illustrasjonen). Det skal rulles til en sylinder med høyde y cm som vist på figuren. Omkretsen på sylinderen = x.

b) Vis at volumet av sylinderen kan uttrykkes ved:
[tex]V=\frac{x^{2}}{4\pi }*(18-x)[/tex]

Jeg ser jo at man kan bruke grunnformelen for volum som er grunnflate * høyde. Grunnflaten av en sirkel er jo [tex]\pi r^{2}[/tex], og høyden er det samme som y (som er likt 18-x).
Dermed får jeg:
[tex]V= \pi r^{2}h[/tex]
[tex]V= \pi r^{2}(18-x)[/tex]

Hvordan går man fra mitt uttrykk til [tex]V=\frac{x^{2}}{4\pi }*(18-x)[/tex]?

c) Bestem x slik at sylinderen får størst mulig volum. Hvor stort er volumet da?

Slik har jeg tenkt:
Først må jeg multiplisere "ferdig" uttrykket for [tex]V=\frac{x^{2}}{4\pi }*(18-x)[/tex], for så å derivere det. Deretter faktoriserer jeg, tegner fortegnslinje og finner toppunktet for uttrykket. Problemet er at jeg stopper allerede når jeg skal prøve å derivere uttrykket.

[tex]V=\frac{x^{2}}{4\pi }*(18-x)[/tex] = [tex]\frac{18x^{2}-x^{3}}{4\pi }[/tex]

Men jeg aner ikke hvordan jeg deriverer dette uttrykket, spesielt nå som vi har PI med.

[josi]

Oppgaven er som følger:


Jeg ser jo at man kan bruke grunnformelen for volum som er grunnflate * høyde. Grunnflaten av en sirkel er jo [tex]\pi r^{2}[/tex], og høyden er det samme som y (som er likt 18-x).
Dermed får jeg:
[tex]V= \pi r^{2}h[/tex]
[tex]V= \pi r^{2}(18-x)[/tex]

Hvordan går man fra mitt uttrykk til [tex]V=\frac{x^{2}}{4\pi }*(18-x)[/tex]?

Du må finne radien, r, i sylinderen som lages. Du vet at omkretsen er

$2\pi r = x,\,r = \frac{x}{2\pi}$

c) Bestem x slik at sylinderen får størst mulig volum. Hvor stort er volumet da?



[tex]V=\frac{x^{2}}{4\pi }*(18-x)[/tex] = [tex]\frac{18x^{2}-x^{3}}{4\pi }[/tex]

Men jeg aner ikke hvordan jeg deriverer dette uttrykket, spesielt nå som vi har PI med.

$ \pi $ er en konstant. Her er det bare å bruke regelen for å derivere et potensuttrykk: $( x^n)´ = n\cdot x^{n-1} $

[jjberg]

Takk for veldig oppklarende svar josi! Da kommer jeg frem til følgende:

Du må finne radien, r, i sylinderen som lages.

[tex]2\pi r=x[/tex]

[tex]r = \frac{x}{2\pi }[/tex]

Nå når jeg vet radien, setter jeg denne inn i formelen for areal [tex](\pi r^{2})[/tex]:

[tex]\pi r^{2}[/tex]

[tex]\pi * (\frac{x}{2\pi }*\frac{x}{2\pi })[/tex]

[tex]\pi * (\frac{x^{2}}{4\pi^{2} })[/tex]

[tex]\frac{x^{2}}{4\pi }[/tex]

π er en konstant. Her er det bare å bruke regelen for å derivere et potensuttrykk: (xn)´=n⋅xn−1

[tex]V =\frac{x^{2}}{4\pi }*(18-x)[/tex]

[tex]\frac{18x^{2}-x^{3}}{4\pi }[/tex]

[tex]36x-3x^{2}[/tex]

Faktoriserer jeg dette deriverte uttrykket, og lager fortegnslinje, finner jeg ut at toppunktet er x = 12. Som stemmer med fasiten.

Mange takk igjen josi