Dersom x^2+y^2 er et partall er også x+y et partall
Sliter med fremgangsmåten på denne oppgaven. Hadde fått den til om vi hadde fått vite at x og y er et partall/oddetall, men siden summen av disse skal være et partall synes jeg oppgaven fort blir en del vanskeligere. Har prøvd meg frem uten hell:
Forsøk på løsning:
Forsøker å gjøre et kontrapositivt bevis, dersom x+y er et oddetall, er også x^2+y^2 et oddetall.
x+y = 2k+1
x= 2k+1-y
y= 2k+1-x
x^2+y^2 = (2k+1-y)^2 + (2k+1-x)^2 = 4k^2 + 1 - y^2 + 4k^2 + 1 - x^2
Får da at:
x^2 + y^2 = 8k^2 + 2
Dersom jeg faktoriserer dette får jeg at x^2 + y^2 er et partall:
x^2 + y^2 = 2(4k^2+1)
siden (4k^2+1) er et vilkårlig heltall: x^2+y^2 = 2n = partall.
Hva gjør jeg feil?
Partallsbevis
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
La $x+y$ være odde. Da er $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$ odde, men da må $x^2+y^2$ være odde siden $2xy$ er like.Tåkelur skrev:Dersom x^2+y^2 er et partall er også x+y et partall
Sliter med fremgangsmåten på denne oppgaven. Hadde fått den til om vi hadde fått vite at x og y er et partall/oddetall, men siden summen av disse skal være et partall synes jeg oppgaven fort blir en del vanskeligere. Har prøvd meg frem uten hell:
Forsøk på løsning:
Forsøker å gjøre et kontrapositivt bevis, dersom x+y er et oddetall, er også x^2+y^2 et oddetall.
Når det gjelder din fremgangsmåte: Se først på utregningen din av parentesene som er kvadrert. Her ser det ut til at du tenker at $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2$, men dette stemmer ikke - husk kvadratsetningen, at $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Har vi tre ledd i parentesen blir det enda fler "kryssledd" i utregningen.
Det kan hjelpe å regne ut $(2k+1-y)^2$ ved å skrive det som $\bigl((2k+1)-y\bigr)^2 = (2k+1)^2 - 2\cdot (2k+1)\cdot y + y^2$. Hva ender du med til slutt om du nå regner ut?
Det kan hjelpe å regne ut $(2k+1-y)^2$ ved å skrive det som $\bigl((2k+1)-y\bigr)^2 = (2k+1)^2 - 2\cdot (2k+1)\cdot y + y^2$. Hva ender du med til slutt om du nå regner ut?
Takk, tror jeg forstår hva du mener. siden x+y er odde må også $(x+y)^2$ være odde. Og $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$.Gustav skrev: La $x+y$ være odde. Da er $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$ odde, men da må $x^2+y^2$ være odde siden $2xy$ er like.
Vi vet at 2xy er et partall siden det er delelig på to, så derfor må $x^2+y^2$ være et oddetall for at hele summen skal bli et oddetall.
Men her må jeg vel strengt tatt bevise videre at et partall + et oddetall = et oddetall?
Altså:
$2xy+(x^2+y^2)=
2k+(2n+1)=
2k + 2n + 1 =
(2k+2n) + 1$
Vi vet at 2k og 2n er to hele partall, vi kan skrive disse som 2m og får
$2m+1$ som er definisjonen på et oddetall.
Har dermed bevist at dersom $x^2+y^2$ er et oddetall så er $x+y$ et oddetall.
Se der ja, det gikk litt fort når jeg løste opp parantesene. Løste dem opp som om det skulle vært ganger mellom dem, og ikke tre forskjellige ledd.SveinR skrev:Når det gjelder din fremgangsmåte: Se først på utregningen din av parentesene som er kvadrert. Her ser det ut til at du tenker at $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2$, men dette stemmer ikke - husk kvadratsetningen, at $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Har vi tre ledd i parentesen blir det enda fler "kryssledd" i utregningen.
Det kan hjelpe å regne ut $(2k+1-y)^2$ ved å skrive det som $\bigl((2k+1)-y\bigr)^2 = (2k+1)^2 - 2\cdot (2k+1)\cdot y + y^2$. Hva ender du med til slutt om du nå regner ut?
Dersom jeg gjør det som du foreslår (setter inn parantesene for x og y og regner ut) ender jeg opp med
$x^2+y^2+8k^2+8k-4ky-4kx-2y-2x+2 = 2m+1$
Faktoriserer til
$x^2+y^2+2(4k^2+4k-2ky-2kx-y-x+1)=2m+1$
Siden alt er heltall kan dette skrives som
$x^2+y^2+2(n)=2m+1$
Trekker fra 2n og får
$x^2+y^2=2m+1-2n$
Beviser så at et oddetall-partall = et oddetall:
$2m+1-2n=2(m-n)+1$
Siden m og n er heltall kan det skrives om til
$2l+1$ som er definisjonen på et oddetall.
$x^2+y^2=2l+1$
Har dermed bevist at dersom $x+y$ er et oddetall er også $x^2+y^2$ et oddetall. Ved kontrapositivt bevis har jeg derfor også bevist at dersom $x^2+y^2$ er et partall, er også $x+y$ et partall.
Takker så mye for hjelpen!
Ja, men dette er vel ganske åpenbart? Modulo $2$ er dette det samme som at $0+1=1$.Tåkelur skrev: Men her må jeg vel strengt tatt bevise videre at et partall + et oddetall = et oddetall?
Alternativt: Et partall kan skrives på formen $2k$ for et heltall $k$, mens et oddetall kan skrives på formen $2l+1$ for et heltall $l$. Dermed er summen av et partall og et oddetall $2k+(2l+1)=2(k+l)+1$, som altså er på formen til et oddetall.
Ja, det er sant. Igjen, takk for hjelpen! Har forstått hva jeg gjorde feil, og hvordan jeg skal gå frem.Gustav skrev:Ja, men dette er vel ganske åpenbart? Modulo $2$ er dette det samme som at $0+1=1$.Tåkelur skrev: Men her må jeg vel strengt tatt bevise videre at et partall + et oddetall = et oddetall?