komplekse tall og absoluttverdi

[mnbvc]

Skal vise at

(abs(z+w))^2 + (abs(z-w))^2 = 2(abs(z))^2 + 2(abs(w))^2

Har foreløpig at ( abs(z+w) )^2 = z^2 + w^2,

Antar da at abs(z-w) må være det samme?
Vet at abs(z-w) er avstanden mellom z og w, men skjønner ikke hvordan jeg går videre derfra (eller om det det hele tatt er relevant?)

(Og hvordan får en gjestebruker på forumet? Vanskelig å komme opp med et nytt brukernavn for hver gang)

[Hege Baggethun2020]

Heisann,

Modulus, eller lengden, til et komplekst tall [tex]z = x + iy[/tex] er gitt ved [tex]\left | z \right |=\left | x+iy \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/tex].

For å løse oppgaven din, la [tex]z = a + ib[/tex] og la [tex]w=c+id[/tex].

Vi får

[tex]\left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex] og [tex]\left | w \right |=\sqrt{c^{2}+d^{2}}[/tex].

Videre får vi [tex]z+w = (a+c) + i(b+d)[/tex] og [tex]z-w = (a-c)+i(b-d)[/tex], og dermed har du:

[tex]\left | z+w \right |=\sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}[/tex] og [tex]\left | z-w \right |=\sqrt{(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}[/tex].

Kvadrer begge uttrykk, legg sammen og dermed når du konklusjonen ganske fort:

[tex]\left | z+w \right |^{2}+\left | z-w \right |^{2}=(a+c)^{2} +(b+d)^{2} + (a-c)^{2} + (b-d)^{2}[/tex]
[tex]\left | z+w \right |^{2}+\left | z-w \right |^{2}=a^{2} + 2ac + c^{2} + b^{2} + 2bd+ d^{2} + a^{2} - 2ac + c^{2} + b^{2}-2bd+d^{2}[/tex]
[tex]\left | z+w \right |^{2}+\left | z-w \right |^{2}= 2(a^{2}+b^{2}) + 2(c^{2}+d^{2})[/tex]
[tex]\left | z+w \right |^{2}+\left | z-w \right |^{2}=2\left | z \right |^{2} + 2\left | w \right |^{2}[/tex]

Jeg er usikker på hvordan du oppretter gjestebruker på forumet, men en av moderatorene her svarer sikkert på det

Hilsen Hege.

[Hege Baggethun2020]

Vet at abs(z-w) er avstanden mellom z og w, men skjønner ikke hvordan jeg går videre derfra (eller om det det hele tatt er relevant?)

Anbefaler deg å eksperimentere med å tegne de to vektorene z og w i planet, og multiplisere, addere, subtrahere dem osv. Det er god trening og gir god forståelse for oppgaven du forsøker å løse.

Det kan også være nyttig å vite at [tex]\left | z-w \right |[/tex] er avstanden fra [tex]w[/tex] til [tex]z[/tex], mens [tex]\left | z+w \right |[/tex] er avstanden fra [tex]-w[/tex] til [tex]z[/tex].