Sannsynlighet

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Sannsynlighet

Innlegg Gjest » 05/06-2020 23:03

Det er mye oppmerksomhet rundt utviklingen av serologisker tester som kan påvise antistoffer fra koronaviruset i blod.
Det finnes ulike produsenter av slike serologiske antistoff-tester. Vi skal se på to av de beste som foreløpig finnes på
markedet i Europa, og kaller dem her T1 og T2.

I følge en fersk sammenlignende studie har de to testene følgende karakteristika: spesifisitet og sensitivitet.

Sensitivitet er her sannsynligheten for at testen gir et positivt resultat (testen indikerer antistoffer i blodet), gitt at man faktisk har antistoffer i blodet. Spesifisitet er sannsynligheten for at testen gir et negativt resultat (testen indikerer ikke antistoffer i blodet), gitt at man ikke har antistoffer i blodet.

For T1 er sensitiviteten lik 95.5%
For T2 er sensitiviteten lik 94.2%

For T1 er spesifisiteten lik 98.0%
For T2 er spesifisiteten lik 99.8%

Spørsmålet er: Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt testperson får et positivt resultat av test T1.

Det jeg har skrevet foreløpig er:
P(Positiv m. antistoffer, T1) : Sensitiviteten til T1 = 95.5%
P(Negativ m. antistoffer,T1): Sannsynligheten for at T1 gir et negativt resultat for en testperson som virkelig har antistoffene= 4.5%
P(Negativ u. antistoffer, T1): Spesifisiteten til T1 = 98.0%
P(Positiv u. antistoffer, T1) : Sannsynligheten for at T1 gir et positivt resultat for en testperson som ikke har antistoffene. = 2%
NB: m. er med og u. er uten

Jeg vet at jeg skal bruke P(Positiv m. antistoffer, T1) og P(Positiv u. antistoffer, T1) for å finne P(positivt resultat av T1), men er usikker på hvordan jeg skal bruke de.
Gjest offline

Re: Sannsynlighet

Innlegg josi » 06/06-2020 10:46

Spørsmålet er: Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt testperson får et positivt resultat av test T1.


Et positivt testresultat kan oppstå på to måter:

Testpersonen har antistoffer i blodet og testutfallet indikerer dette, eller testpersonen har ikke antistoffer i blodet, men testutfallet indikerer likevel dette (såkalt falsk positiv).

S = har antistoffer i blodet
T = testresultatet indikerer antistoffer i blodet

Totalsannsynlighet for et positivt testresultat:

$P((S\cap T )\cup (\bar S\cap T)) = $

$P(S)\cdot P(T|S) + P(\bar S\cdot P(T|\bar S)$

Her gir oppgaveteksten informasjon om P(T|S) = testens (T1) sensitivitet = 95.5% og
testens spesifisitet = 98%.

$ P(T|\bar S) = 1 - P(\bar T|\bar S) = $

100% - 98% (testens spesifisitet) = 2%.

Siden utbredelsen P(S) (prevalensen) ikke er oppgitt, kan ikke totalsannsynligheten fullt ut tallfestes.
josi offline

Re: Sannsynlighet

Innlegg Gjest » 06/06-2020 14:11

Hei igjen!

Jeg glemte å ta med denne delen som var gitt i oppgaven:
I Norge er det foreløpig en liten andel av befolkningen som har vært smittet av koronaviruset. Et (usikkert) anslag fra Folkehelseinstituttet (FHI) er at ca. 1% så langt har antistoffer i blodet. Vi vil i det følgende se på en populasjon der 1% har slike antistoffer.

Hva er det 1% forestiller? Er det prevalensen?
Gjest offline

Re: Sannsynlighet

Innlegg josi » 06/06-2020 14:59

Gjest skrev:Hei igjen!

Jeg glemte å ta med denne delen som var gitt i oppgaven:
I Norge er det foreløpig en liten andel av befolkningen som har vært smittet av koronaviruset. Et (usikkert) anslag fra Folkehelseinstituttet (FHI) er at ca. 1% så langt har antistoffer i blodet. Vi vil i det følgende se på en populasjon der 1% har slike antistoffer.

Hva er det 1% forestiller? Er det prevalensen?


Ja
josi offline

Re: Sannsynlighet

Innlegg Gjest » 06/06-2020 18:04

Er P(T) det samme som det du har kalt totalsannsynlighet for et positivt testresultat?
Gjest offline

Re: Sannsynlighet

Innlegg josi » 06/06-2020 19:18

Gjest skrev:Er P(T) det samme som det du har kalt totalsannsynlighet for et positivt testresultat?


Ja, P(T) gir sannsynligheten for at et positivt testresultat inntreffer. Denne kalles totalsannsynlighet også fordi den summerer sannsynligheten for T over alle distinkte betingelser: sannsynligheten for T gitt S + sannsynligheten for T gitt ikke-S.
josi offline

Re: Sannsynlighet

Innlegg Gjest » 06/06-2020 19:50

Tusen takk! :D
Gjest offline

Re: Sannsynlighet

Innlegg Gjest » 06/06-2020 22:22

Jeg har ett spørsmål til.

10 uavhengige, tilfeldig valgte personer testes med testen T1, og alle tester negativt. Hva er sannsynligheten for at minst ´en av disse 10 egentlig har vært smittet av koronaviruset og derfor har antistoffer i blodet?

(Her er jeg litt forvirret fordi at jeg skal regne ut sannsynligheten når jeg har en betinget sannsynlighet)
Gjest offline

Re: Sannsynlighet

Innlegg josi » 07/06-2020 10:21

10 uavhengige, tilfeldig valgte personer testes med testen T1, og alle tester negativt. Hva er sannsynligheten for at minst ´en av disse 10 egentlig har vært smittet av koronaviruset og derfor har antistoffer i blodet?

(Her er jeg litt forvirret fordi at jeg skal regne ut sannsynligheten når jeg har en betinget sannsynlighet)


Du blir bedt om å regne ut sannsynligheten for at minst én av ti som har testet negativt har antistoffer i blodet.

Sannsynligheten for at én testperson i dette tilfellet har smittestoffer i blodet er

$P(S|\bar T) = \frac{P(S\cap \bar T)}{P(\bar T)} = \frac{P(S)\cdot P(\bar T|S)}{P(\bar T)} = p$
$ P(\bar T) = 1 - P(T), P(\bar T|S) = 1 - P(T|S)$

Siden det er rimelig å anta at antallet tester, 10, er få i forhold til populasjonen, har vi i praksis å gjøre med en binomisk forsøksrekke, hvor testene er statistisk uavhengige av hverandre med konstant sannsynlighet = p for ett av to utfall.

Sannsynligheten for at minst én av de som har testet negativt, har antistoffer i blodet, er den samme som sannsynligheten for at vi ikke har det tilfellet at ingen av de 10 har antistoffer i blodet.

$X =$ antall forsøkspersoner som har testet positivt og har antistoffer i blodet

$ P(X = 0) = {(1-p)}^{10}$
der 1 - p er sannsynligheten for ikke å ha antistoffer i blodet etter å ha testet negativt.
Sannsynligheten for minst én er da
$ 1 - {(1-p)}^{10}$
josi offline

Re: Sannsynlighet

Innlegg Gjest » 07/06-2020 11:41

Hvor høy måtte spesifisiteten ha vært for test T2 for at sannsynligheten for å ikke ha antistoffer i blodet, gitt at man har testet positivt med test T2 skal bli mindre enn 5%?

Jeg fikk at sannsynligheten for å ikke ha antistoffer i blodet, gitt at man har testet positivt med test T2 er 17% men klarte ikke å sette opp en ulikhet for å finne spesifisiteten.
Gjest offline

Re: Sannsynlighet

Innlegg josi » 07/06-2020 12:37

Gjest skrev:Hvor høy måtte spesifisiteten ha vært for test T2 for at sannsynligheten for å ikke ha antistoffer i blodet, gitt at man har testet positivt med test T2 skal bli mindre enn 5%?

Jeg fikk at sannsynligheten for å ikke ha antistoffer i blodet, gitt at man har testet positivt med test T2 er 17% men klarte ikke å sette opp en ulikhet for å finne spesifisiteten.


$P(\bar T_2|\bar S)= $
den søkte spesifisiteten til test $T_2$

$P(\bar S|T_2) = 0.05 > \frac{P(\bar S)\cdot P(T_2|\bar S)}{P(T_2)}
= \frac{P(\bar S)\cdot ( 1 - P(\bar T_2|\bar S))}{P(T_2)}$

$P(\bar T_2|\bar S) > \frac{P(\bar S) - 0.05\cdot P(T_2)}{P(\bar S)}$
josi offline

Re: Sannsynlighet

Innlegg mie » 07/06-2020 21:47

Hvilke verdier satt du inn i ulikheten for at svaret ble 17% ? Jeg får andre verdier :/
mie offline

Re: Sannsynlighet

Innlegg Majaaa » 07/06-2020 22:11

Hei!

Til den samme oppgaven spør de om å beregne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt testperson faktisk har antistoffer i blodet, gitt en positiv test (T1). For så kommentere svaret.

Jeg har tenkt sånn

P(S|+) = P(+∩S)
P(+) =(P(+|S)P(S) )/ P(+)

Er det noen som kan fortelle om jeg har tenkt riktig, hvis ikke hvordan kan jeg løse det?
Majaaa offline

Re: Sannsynlighet

Innlegg Gjest » 07/06-2020 22:17

Jeg gjorde den sånn:

P(S|T) = P(T ∩ S) / P(T) = P(T|S) P(S) / P(T)

jeg fikk 31.8 % som svar hva fikk du?
Gjest offline

Re: Sannsynlighet

Innlegg Gjest » 07/06-2020 22:23

mie skrev:Hvilke verdier satt du inn i ulikheten for at svaret ble 17% ? Jeg får andre verdier :/



Jeg tror du har misforstått det jeg hadde sagt. Jeg fikk 99.94 % som sluttsvar.
Jeg mente at P(S'|T) for T2 var 17%
Gjest offline

Neste

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 93 gjester