Lage en rekke ut fra et praktisk problem.

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Lage en rekke ut fra et praktisk problem.

Innlegg mattemette » 19/05-2020 09:27

Hei.

Oppgaven er gitt ved

Hver kveld slipper en fabrikk ut et forurensende avfallstoff ut i et vassdrag. I løpet av en kveld forsvinner 2/5 av stoffet fra vassdraget. Dersom myndighetene regner med at en akseptabel mengde avfall i vassdraget er 20kg, hvor mye kan fabrikken slippe ut hver kveld uten at grensen overskrides?


Har vært inne på tanken om at dette er en er en geometrisk rekke som har et konstant ledd som slippes ut hver kveld, og at summen av rekken må være >20?
Blir dette helt feil. Hvordan burde man gjøre dette?

Takk på forhånd.
mattemette offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 5
Registrert: 05/02-2017 13:43

Re: Lage en rekke ut fra et praktisk problem.

Innlegg Mattegjest » 19/05-2020 12:04

Du tenkjer heilt rett , på eitt unntak nær: Summen av den geometriske rekkja må vere [tex]\leqslant[/tex] 20.


[tex]\frac{2}{5}[/tex] av det daglege utsleppet blir borte i løpet av kvelden; altså blir [tex]\frac{3}{5}[/tex] verande i vassdraget. Restmengde etter to døgn: ( [tex]\frac{3}{5}[/tex] )[tex]^{2}[/tex], o.s.v.


Summen av dei daglege utsleppa dannar dermed ei geom. rekkje med kvotient

k = [tex]\frac{3}{5}[/tex]

Summen S = lim( n[tex]\rightarrow[/tex][tex]\infty[/tex] ) S[tex]_{n}[/tex] = [tex]\frac{a_{1}}{1 - k}[/tex]

Da endar vi opp med ei likning der det daglege utsleppet ( a[tex]_{1}[/tex] ) er einaste ukjend.
Mattegjest offline

Re: Lage en rekke ut fra et praktisk problem.

Innlegg Mattegjest » 19/05-2020 12:05

Du tenkjer heilt rett , på eitt unntak nær: Summen av den geometriske rekkja må vere [tex]\leqslant[/tex] 20.


[tex]\frac{2}{5}[/tex] av det daglege utsleppet blir borte i løpet av kvelden; altså blir [tex]\frac{3}{5}[/tex] verande i vassdraget. Restmengde etter to døgn: ( [tex]\frac{3}{5}[/tex] )[tex]^{2}[/tex], o.s.v.


Summen av dei daglege utsleppa dannar dermed ei geom. rekkje med kvotient

k = [tex]\frac{3}{5}[/tex]

Summen S = lim( n[tex]\rightarrow[/tex][tex]\infty[/tex] ) S[tex]_{n}[/tex] = [tex]\frac{a_{1}}{1 - k}[/tex]

Da endar vi opp med ei likning der det daglege utsleppet ( a[tex]_{1}[/tex] ) er einaste ukjend.
Mattegjest offline

Re: Lage en rekke ut fra et praktisk problem.

Innlegg Kristian Saug » 19/05-2020 12:16

Hei,

Jeg regner med at det i oppgaveteksten skal stå "I løpet av et døgn forsvinner...." , og ikke "I løpet av en kveld forsvinner......"

Svar: [tex]8[/tex] kg
Kristian Saug offline
Abel
Abel
Innlegg: 600
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: Lage en rekke ut fra et praktisk problem.

Innlegg Kristian Saug » 19/05-2020 12:53

Se vedlegg for visualisering.
Vedlegg
Avfallstoff.odt
(39.94 KiB) 70 ganger
Kristian Saug offline
Abel
Abel
Innlegg: 600
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: Lage en rekke ut fra et praktisk problem.

Innlegg Gustav » 20/05-2020 00:46

Alternativ løsning med rekurrensrelasjon:

La $x_n$ være mengden av avfallstoff i elva etter $n$ dager. Da er $x_{n+1}=\frac35 x_n+k$, der $k$ er en konstant mengde avfall som tømmes i elva hver dag, med initialbetingelsen $x_0=k$. Rekurrensrelasjonen har løsning $x_n=\frac12 k (5-3 (\frac{3}{5})^n)$. Vi krever at $\frac52 k=\lim_{n\to \infty}x_n \le 20$, altså må $k\le \frac{40}{5}=8$.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4439
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Lage en rekke ut fra et praktisk problem.

Innlegg mattemette » 21/05-2020 08:50

Fikk nå løst oppgaven, ja jeg mente hver dag i plassen for kveld, gikk litt fort i svingene. Tusen takk for hjelpen!
mattemette offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 5
Registrert: 05/02-2017 13:43

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot] og 52 gjester