hva har større prioritet
enn eksponentialfunksjon [tex]e^x[/tex] eller en eksponentiell vekst i form av et grunntall [tex]k^x[/tex] ?
jeg vet at eksponentiell vekst er større enn polynomiell vekst osv.
men betyr det at [tex]2^{x} > x^{100000000000000000000000}[/tex]
når man nærmer seg uendelig?
grenseverdi
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jepp!
Ja, eksponentialuttrykk med grunntall større enn 1 (eller mindre enn -1), vokser raskere enn polynomuttrykk.
Du kan tenke på dette fra et derivasjonsperspektiv. Hvis du deriverer et polynom, så synker graden.
Hvis du deriverer et eksponentialuttrykk, så bevares graden.
Du kan tenke på dette fra et derivasjonsperspektiv. Hvis du deriverer et polynom, så synker graden.
Hvis du deriverer et eksponentialuttrykk, så bevares graden.
-
Guest
lurt triks menAleks855 wrote:Ja, eksponentialuttrykk med grunntall større enn 1 (eller mindre enn -1), vokser raskere enn polynomuttrykk.
Du kan tenke på dette fra et derivasjonsperspektiv. Hvis du deriverer et polynom, så synker graden.
Hvis du deriverer et eksponentialuttrykk, så bevares graden.
[tex]e^x > a^x \forall a[/tex]
eller blir dette feil siden [tex]e = 2.718[/tex] ?
$e$ er ikke et spesielt tall i denne sammenhengen. $6^x$ vil være mer dominerende enn $e^x$, for eksempel, fordi $6 > e$.
-
Guest
så generelt har vi at [tex]a^x > x^k \forall a, k > 1[/tex]Aleks855 wrote:$e$ er ikke et spesielt tall i denne sammenhengen. $6^x$ vil være mer dominerende enn $e^x$, for eksempel, fordi $6 > e$.
men hva med [tex]log(x)[/tex] er denne mer dominerende enn begge to?
Tegn funksjonene $2^x$, $x^2$ og $\log(x)$ i samme koordinatsystem. Hvilken funksjon ser mer dominerende ut når $x$ blir stor? Og hvilken er helt klart ikke dominerende i det hele tatt?
-
Guest
[tex]2^x[/tex] er mest, så kommer [tex]log(x)[/tex] og til slutt [tex]x^2[/tex] ?Aleks855 wrote:Tegn funksjonene $2^x$, $x^2$ og $\log(x)$ i samme koordinatsystem. Hvilken funksjon ser mer dominerende ut når $x$ blir stor? Og hvilken er helt klart ikke dominerende i det hele tatt?
-
Guest
mente til slutt [tex]log(x)[/tex] men det jeg spør om er hvis man harGjest wrote:[tex]2^x[/tex] er mest, så kommer [tex]log(x)[/tex] og til slutt [tex]x^2[/tex] ?Aleks855 wrote:Tegn funksjonene $2^x$, $x^2$ og $\log(x)$ i samme koordinatsystem. Hvilken funksjon ser mer dominerende ut når $x$ blir stor? Og hvilken er helt klart ikke dominerende i det hele tatt?
[tex]3^x, x^10000000, \left ( log(x) \right )^{100000000}[/tex]
vil fremdeles [tex]3^x[/tex] være dominerende her?
Ja, $3^x$ er dominerende her.
-
Guest
ah, okAleks855 wrote:Ja, $3^x$ er dominerende her.
det er ikke helt intuitivt for meg da jeg av en eller annen grunn tenker at uendelig multiplisert med uendelig er større enn f.eks 3 ^ uendelig = 3*3*3..3^n
Det er ikke rart. Matematikken blir sær når prøver å behandle $\infty$ som et tall på den måten.
Det tryggeste er nok, som jeg nevnte såvidt tidligere, å se på at selv om $x^{1000000}$ har et sterkere utgangspunkt for lavere verdier av $x$, så vil $2^x$ bli brattere raskere. Dette er noe vi kan se ved å betrakte hvordan funksjonene oppfører seg under derivasjon.
Etter $1000000$ derivasjoner, så vil $x^{1000000}$ gi en konstant funksjon, mens $2^x$ vil fremdeles være $2^x$, multiplisert med et eller annet tall. Og siden de gjentatte deriverte av en funksjon forteller oss hvordan funksjonen oppfører seg når det gjelder stigning, så er det naturlig å konkludere at $2^x > x^{1000000}$ når $x\to\infty$.
Det tryggeste er nok, som jeg nevnte såvidt tidligere, å se på at selv om $x^{1000000}$ har et sterkere utgangspunkt for lavere verdier av $x$, så vil $2^x$ bli brattere raskere. Dette er noe vi kan se ved å betrakte hvordan funksjonene oppfører seg under derivasjon.
Etter $1000000$ derivasjoner, så vil $x^{1000000}$ gi en konstant funksjon, mens $2^x$ vil fremdeles være $2^x$, multiplisert med et eller annet tall. Og siden de gjentatte deriverte av en funksjon forteller oss hvordan funksjonen oppfører seg når det gjelder stigning, så er det naturlig å konkludere at $2^x > x^{1000000}$ når $x\to\infty$.
-
Guest
Takk, ble mye klarere nåAleks855 wrote:Det er ikke rart. Matematikken blir sær når prøver å behandle $\infty$ som et tall på den måten.
Det tryggeste er nok, som jeg nevnte såvidt tidligere, å se på at selv om $x^{1000000}$ har et sterkere utgangspunkt for lavere verdier av $x$, så vil $2^x$ bli brattere raskere. Dette er noe vi kan se ved å betrakte hvordan funksjonene oppfører seg under derivasjon.
Etter $1000000$ derivasjoner, så vil $x^{1000000}$ gi en konstant funksjon, mens $2^x$ vil fremdeles være $2^x$, multiplisert med et eller annet tall. Og siden de gjentatte deriverte av en funksjon forteller oss hvordan funksjonen oppfører seg når det gjelder stigning, så er det naturlig å konkludere at $2^x > x^{1000000}$ når $x\to\infty$.