hva har større prioritet
enn eksponentialfunksjon [tex]e^x[/tex] eller en eksponentiell vekst i form av et grunntall [tex]k^x[/tex] ?
jeg vet at eksponentiell vekst er større enn polynomiell vekst osv.
men betyr det at [tex]2^{x} > x^{100000000000000000000000}[/tex]
når man nærmer seg uendelig?
grenseverdi
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
lurt triks menAleks855 skrev:Ja, eksponentialuttrykk med grunntall større enn 1 (eller mindre enn -1), vokser raskere enn polynomuttrykk.
Du kan tenke på dette fra et derivasjonsperspektiv. Hvis du deriverer et polynom, så synker graden.
Hvis du deriverer et eksponentialuttrykk, så bevares graden.
[tex]e^x > a^x \forall a[/tex]
eller blir dette feil siden [tex]e = 2.718[/tex] ?
så generelt har vi at [tex]a^x > x^k \forall a, k > 1[/tex]Aleks855 skrev:$e$ er ikke et spesielt tall i denne sammenhengen. $6^x$ vil være mer dominerende enn $e^x$, for eksempel, fordi $6 > e$.
men hva med [tex]log(x)[/tex] er denne mer dominerende enn begge to?
[tex]2^x[/tex] er mest, så kommer [tex]log(x)[/tex] og til slutt [tex]x^2[/tex] ?Aleks855 skrev:Tegn funksjonene $2^x$, $x^2$ og $\log(x)$ i samme koordinatsystem. Hvilken funksjon ser mer dominerende ut når $x$ blir stor? Og hvilken er helt klart ikke dominerende i det hele tatt?
mente til slutt [tex]log(x)[/tex] men det jeg spør om er hvis man harGjest skrev:[tex]2^x[/tex] er mest, så kommer [tex]log(x)[/tex] og til slutt [tex]x^2[/tex] ?Aleks855 skrev:Tegn funksjonene $2^x$, $x^2$ og $\log(x)$ i samme koordinatsystem. Hvilken funksjon ser mer dominerende ut når $x$ blir stor? Og hvilken er helt klart ikke dominerende i det hele tatt?
[tex]3^x, x^10000000, \left ( log(x) \right )^{100000000}[/tex]
vil fremdeles [tex]3^x[/tex] være dominerende her?
ah, okAleks855 skrev:Ja, $3^x$ er dominerende her.
det er ikke helt intuitivt for meg da jeg av en eller annen grunn tenker at uendelig multiplisert med uendelig er større enn f.eks 3 ^ uendelig = 3*3*3..3^n
Det er ikke rart. Matematikken blir sær når prøver å behandle $\infty$ som et tall på den måten.
Det tryggeste er nok, som jeg nevnte såvidt tidligere, å se på at selv om $x^{1000000}$ har et sterkere utgangspunkt for lavere verdier av $x$, så vil $2^x$ bli brattere raskere. Dette er noe vi kan se ved å betrakte hvordan funksjonene oppfører seg under derivasjon.
Etter $1000000$ derivasjoner, så vil $x^{1000000}$ gi en konstant funksjon, mens $2^x$ vil fremdeles være $2^x$, multiplisert med et eller annet tall. Og siden de gjentatte deriverte av en funksjon forteller oss hvordan funksjonen oppfører seg når det gjelder stigning, så er det naturlig å konkludere at $2^x > x^{1000000}$ når $x\to\infty$.
Det tryggeste er nok, som jeg nevnte såvidt tidligere, å se på at selv om $x^{1000000}$ har et sterkere utgangspunkt for lavere verdier av $x$, så vil $2^x$ bli brattere raskere. Dette er noe vi kan se ved å betrakte hvordan funksjonene oppfører seg under derivasjon.
Etter $1000000$ derivasjoner, så vil $x^{1000000}$ gi en konstant funksjon, mens $2^x$ vil fremdeles være $2^x$, multiplisert med et eller annet tall. Og siden de gjentatte deriverte av en funksjon forteller oss hvordan funksjonen oppfører seg når det gjelder stigning, så er det naturlig å konkludere at $2^x > x^{1000000}$ når $x\to\infty$.
Takk, ble mye klarere nåAleks855 skrev:Det er ikke rart. Matematikken blir sær når prøver å behandle $\infty$ som et tall på den måten.
Det tryggeste er nok, som jeg nevnte såvidt tidligere, å se på at selv om $x^{1000000}$ har et sterkere utgangspunkt for lavere verdier av $x$, så vil $2^x$ bli brattere raskere. Dette er noe vi kan se ved å betrakte hvordan funksjonene oppfører seg under derivasjon.
Etter $1000000$ derivasjoner, så vil $x^{1000000}$ gi en konstant funksjon, mens $2^x$ vil fremdeles være $2^x$, multiplisert med et eller annet tall. Og siden de gjentatte deriverte av en funksjon forteller oss hvordan funksjonen oppfører seg når det gjelder stigning, så er det naturlig å konkludere at $2^x > x^{1000000}$ når $x\to\infty$.