differensiallikning fortegn

[Guest]

Hei, kan noen se hvor minustegnet (som jeg skal ende opp med) forsvinner?


[tex]\frac{dN}{dt}=N-N^2[/tex]

[tex]\frac{1}{N-N^2}dN=1 dt[/tex]

[tex]\int \left ( \frac{1}{N}+\frac{1}{1-N} \right )dN=\int 1 dt[/tex]

[tex]ln \left | N \right |-ln\left | 1-N \right |+C_1=t+C_2[/tex]

[tex]e^{ln\left ( \frac{N}{1-N} \right )}=e^{t+C_3}[/tex]

[tex]N=e^{t+c_3}\left ( 1-N \right )[/tex]

[tex]N(1+e^{t+c-3})=e^{t+c_3}[/tex]

[tex]N=\frac{e^{t+c_3}}{1+e^{t+c_3}}[/tex]

Svaret skal være

[tex]\boxed {-\frac{e^{t+c^3}}{1-e^{t+c^3}}}[/tex]

[Kristian Saug]

I fjerde linje har du en fortegnsfeil.

Skal være
[tex]ln\begin{vmatrix} N \end{vmatrix}+ln\begin{bmatrix} 1-N \end{bmatrix}.....[/tex]

[Guest]

I fjerde linje har du en fortegnsfeil.

Skal være
[tex]ln\begin{vmatrix} N \end{vmatrix}+ln\begin{bmatrix} 1-N \end{bmatrix}.....[/tex]

sier du det?

[tex]\int \left ( \frac{1}{1-N} \right )dN=-1* \ln \left | 1-N \right |[/tex] ?

[Aleks855]

$+C$

[Guest]

$+C$

jepp,

men er min fremgangsmåte korrekt og fasiten feil da?

[Kristian Saug]

I fjerde linje har du en fortegnsfeil.

Skal være
[tex]ln\begin{vmatrix} N \end{vmatrix}+ln\begin{bmatrix} 1-N \end{bmatrix}.....[/tex]

sier du det?

[tex]\int \left ( \frac{1}{1-N} \right )dN=-1* \ln \left | 1-N \right |[/tex] ?

Beklager. Selvsagt har du rett i det. Nå har jeg sett over din løsning et par ganger til og klarer ikke finne noen feil.....
Skjønt CAS gir samme svar som fasitsvaret du nevner....

[Kristian Saug]

I fjerde linje har du en fortegnsfeil.

Skal være
[tex]ln\begin{vmatrix} N \end{vmatrix}+ln\begin{bmatrix} 1-N \end{bmatrix}.....[/tex]

sier du det?

[tex]\int \left ( \frac{1}{1-N} \right )dN=-1* \ln \left | 1-N \right |[/tex] ?

Beklager. Selvsagt har du rett i det. Nå har jeg sett over din løsning et par ganger til og klarer ikke finne noen feil.....

Men sett gjerne
[tex]e^{c_{3}}=C[/tex]
og få
[tex]N(t)=\frac{Ce^{t}}{1+Ce^{t}}[/tex]

Det er litt penere...

[Guest]

Men sett gjerne
[tex]e^{c_{3}}=C[/tex]
og få
[tex]N(t)=\frac{Ce^{t}}{1+Ce^{t}}[/tex]

Det er litt penere...

takk, er det noen grunn til at wolpram alfa skriver opp [tex]N(t)=\frac{e^t}{C+e^t}[/tex] blir ikke dette feil?

[Kristian Saug]

Men sett gjerne
[tex]e^{c_{3}}=C[/tex]
og få
[tex]N(t)=\frac{Ce^{t}}{1+Ce^{t}}[/tex]

Det er litt penere...

takk, er det noen grunn til at wolpram alfa skriver opp [tex]N(t)=\frac{e^t}{C+e^t}[/tex] blir ikke dette feil?

Det skal vel være et like riktig uttrykk. Alle ledd divideres med [tex]C[/tex] og vi får en "ny" [tex]C[/tex] i nevneren
([tex]\frac{1}{C}=[/tex]"ny" [tex]C[/tex])

[Guest]

Men sett gjerne
[tex]e^{c_{3}}=C[/tex]
og få
[tex]N(t)=\frac{Ce^{t}}{1+Ce^{t}}[/tex]

Det er litt penere...

takk, er det noen grunn til at wolpram alfa skriver opp [tex]N(t)=\frac{e^t}{C+e^t}[/tex] blir ikke dette feil?

Det skal vel være et like riktig uttrykk. Alle ledd divideres med [tex]C[/tex] og vi får en "ny" [tex]C[/tex] i nevneren
([tex]\frac{1}{C}=[/tex]"ny" [tex]C[/tex])

takk, et spørsmål

gitt at [tex]N(0)=0.5[/tex] slik at [tex]C=1[/tex]

[tex]\lim_{t-> infinity }N(t)=1[/tex], men kan dette sees ut i fra [tex]dN/dt=N-N^2[/tex] ?

[Kristian Saug]

Nei, det kan det ikke.
[tex]N(0)=0,5[/tex] er kun et randvilkår, her en opplysning om situasjonen ved [tex]t=0[/tex].

[Kristian Saug]

Vi kan også foreta en kontroll på vårt svar:

[tex]N(t)=\frac{e^{t}}{1+e^{t}}[/tex]

[tex]N'(t)=\frac{e^{t}}{(1+e^{t})^{2}}[/tex]

[tex]N(t)-(N(t))^{2}=\frac{e^{t}}{1+e^{t}}-(\frac{e^{t}}{1+e^{t}})^{2}=\frac{e^{t}+e^{2t}-e^{2t}}{(1+e^{t})^{2}}=\frac{e^{t}}{(1+e^{t})^{2}}=N'(t)[/tex]

Dermed bevist.