Uvenn med Lagrange :(

[Freia]

Vi kommer aldri helt overens. Jeg trenger hjelp til oppg. b. Har gjort så langt jeg klarer, men er usikker på hvordan jeg ror i land det siste

[Kay]

Skriv lagrange-multiplikatoren-funksjonen som [tex]\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)[/tex] og sett gradienten av systemet lik null.

Da vil du få et likningssystem med tre likninger hvor den tredje likningen er grenseområdet ditt, dvs. kurven [tex]x^4+y^2=4[/tex].

Altså

[tex]\begin{cases} 4x-4x^3+4\lambda x^3=0\\ 2y(\lambda+1)=0\\ x^4+y^2-4=0 \end{cases}[/tex].

Derifra burde det være ganske planke å gjøre resten. Merk at om du adderer eller substraherer [tex]\lambda g(x,y)[/tex] ikke har noe å si, du vil uansett få tre ekvivalente likninger.

Den vil spytte ut 8 kritiske punkter hvorav 6 av dem er maks/min.

[Freia]

Skriv lagrange-multiplikatoren-funksjonen som [tex]\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)[/tex] og sett gradienten av systemet lik null.

Da vil du få et likningssystem med tre likninger hvor den tredje likningen er grenseområdet ditt, dvs. kurven [tex]x^4+y^2=4[/tex].

Altså

[tex]\begin{cases} 4x-4x^3+4\lambda x^3=0\\ 2y(\lambda+1)=0\\ x^4+y^2-4=0 \end{cases}[/tex].

Derifra burde det være ganske planke å gjøre resten. Merk at om du adderer eller substraherer [tex]\lambda g(x,y)[/tex] ikke har noe å si, du vil uansett få tre ekvivalente likninger.

Den vil spytte ut 8 kritiske punkter hvorav 6 av dem er maks/min.

Det er akkurat så langt i oppgaven jeg kommer. Jeg får satt opp likningssettet, men stopper på hvordan løse ut. Du sier den spytter ut 8 kritiske punkt. Mener du da at ved litt tweaking så får du ut 8 x-verdier, eller noen verdier for x, noen for y.., så bruker du de til å finne dei punkta vi er ute etter? Det er akkurat dette jeg sliter med.

Det jeg har gjort til nå er:

løse ut for y i likning 3, sette inn i likning 2. får lambda=-1. Setter det inn i likning 1. Da får jeg ut x-verdiene x=0 og x= (+/-) 1/sqrt(2)

[Gustav]

[tex]\begin{cases} 4x-4x^3+4\lambda x^3=0\\ 2y(\lambda+1)=0\\ x^4+y^2-4=0 \end{cases}[/tex].

Først observer at ligning 1 kan forenkles til $x(1+(\lambda -1)x^2)=0$

Fra ligning 2 ser vi umiddelbart at det er to muligheter:

I. $y=0$
II. $\lambda=-1$

I. La først $y=0$. Innsatt i ligning 3 fås $x^4=4$, så $x=\pm \sqrt{2}$. Siden $x\neq 0$ må, fra ligning 1, $1+(\lambda-1)x^2=0$, så $\lambda=\frac12$. Da har vi fått to løsninger, $(x,y,\lambda)=(\pm \sqrt{2},0,\frac12)$.

II. La så $\lambda=-1$. Fra ligning 1 fås da at enten er $x=0$, eller så er $1-2x^2=0$, dvs. $x=\pm \sqrt{\frac12}$. Dersom $x=0$ er, fra ligning 3, $y=\pm 2$. Dersom $x=\pm \sqrt{\frac12}$, så er, fra ligning 3, $y^2=4-(\pm\sqrt{\frac12})^4=4-\frac14=\frac{15}{4}$, så $y=\pm\sqrt{\frac{15}{4}}$. Dette gir løsningene $(x,y,\lambda)=(0,\pm 2,-1)$ og $(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm\frac{\sqrt{15}}{2},-1)$.

Plugg så inn disse løsningene i funksjonen $f$ for å finne maksimum og minimum.