Partielt derivasjon

[LABGM]

Jeg har partielt derivert utrykket:
2X^2y + xy^2 -4xy

da fikk jeg

fx = 4xy+y^2-4y -->Y(4x+y-4)

fy= 2x^2 + 2xy -4x-->2x(x+y-2)

jeg skal fikk finne stasjonære punktene. jeg har prøvd mange ganger, men får det ikke til. vet at metoden men får det ikke til. fasitet ga meg ikke helt svar heller. er det noen som kan vise åssen man kan kommer fram til de med utregning, slik at jeg forstår det?? har eksamen snart
det er 4 stasjonære punkter

[Nebuchadnezzar]

Tja, du er på god vei. Som du sikkert vet må du løse likningssettet

$\begin{align*}\phantom{2}y \cdot (4x+y-4)&=0\\2x \cdot (\phantom{2}x+y-2)&=0\end{align*}$

Det enkleste her er nok å se at det øverste uttrykket er null dersom $y = 0$ eller $4x + y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4 - 4x$.
Disse to løsningene kan du sette inn i den nederste likningen for å finne resten av løsningene. Da vil du få fire løsninger. f.eks om du setter inn $y=0$ får du

$2x(\phantom{2}x + 0 - 2) = 0$

Som har to løsninger som jeg regner med du klarer å finne Tilsvarende får du to løsninger ved å sette inn $y = 4 - 4x$.

[Kristian Saug]

Hei,

f(x,y) = 2x^2 y + x y^2 - 4 x y

f'x(x,y) = 4xy + y^2 - 4y
f'y(x,y) = 2x^2 + 2xy - 4x

stasjonære punkter:

1) f'x(x,y) = 4xy + y^2 - 4y = y(4x + y -4) = 0
2) f'y(x,y) = 2x^2 + 2xy - 4x = 2x(x + y -2) = 0

vi ser at
x = 0 og y = 0 er en løsning

videre: setter y = 0 inn i 2. likning:
2x(x - 2) = 0
og får x = 2
altså ny løsning:
x = 2 og y = 0

videre: setter x = 0 inn i 1. likning:
y(y - 4) = 0
og får y = 4
altså ny løsning:
x = 0 og y = 4

og til slutt:
4x + y -4 = 0
x + y -2 = 0
trekker andre linje fra første og får
3x - 2 = 0
x = 2/3
og
y = 2 - x = 2 - 2/3 = 4/3
altså:
x = 2/3 og y = 4/3

Da har du de fire stasjonære punktene!

[Kristian Saug]

Bruk fremgangsmåten til Nebuchadnezzar!
Den er litt ryddigere og anbefalt på eksamen.

Så kan du bruke de fire punktene jeg kom frem til som fasit. For de er riktige.

Du kan også kontrollere ved å bruke CAS. Se vedlegg.