System av diff-ligninger

[Skanin]

Hey, sitter helt fast på en oppgave, som jeg egentlig tror skal være relativt simpel (ikke lekser eller noe slikt, bare litt eksamensøving ):

Screenshot 2019-11-27 at 17.00.26.png (38.55 kiB) Vist 2258 ganger

Det jeg har tenkt er å bare egentlig løse systemet:

[tex]\underline{y'} = \begin{bmatrix}4\\2\\4\end{bmatrix}, \; \; \underline{y(1)} = \begin{bmatrix}-3\\-4\\-2\end{bmatrix}[/tex]

Setter opp systemet:

[tex]\begin{align*}\begin{cases}y' &= 4y_1 + 0y_2 + 0 y_3\\y' &= 0y_1 + 2y_2 + 0y_3\\y' &= 0y_1 + 0y_2 + 4y_3\end{cases}\end{align*}[/tex]

Og skriver det på måten vi har lært:

[tex]\begin{align*} \underline{y'} &= \begin{bmatrix}4 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 4\end{bmatrix} \cdot \underline{y} \end{align*}[/tex]

Finner egenverdiene [tex]\lambda = 4, \; \lambda = 2[/tex] og egenvektorer for [tex]\lambda = 4 = sp\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\right\}[/tex] og for [tex]\lambda = 2 = sp\left\{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\right\}[/tex]

Får da løsningen [tex]y(t) = c_1\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}e^{4t} + c_2\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}e^{2t} + c_3\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}e^{4t}[/tex]

Deretter satt jeg inn for [tex]t = 1[/tex] og løste slik at jeg fikk:
[tex]\begin{align*} c_1 &= \frac{-3}{e^{4}} \\ c_2 &= \frac{-4}{e^{2}} \\ c_3 &= \frac{-2}{e^{4}} \end{align*}[/tex]

Fordi [tex]\begin{bmatrix}c_1e^{4}\\c_2e^{2}\\c_3e^{4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3\\-4\\-2\end{bmatrix}[/tex]

Deretter fikk jeg da løsningen [tex]y(t) = \begin{bmatrix}\frac{-3e^{4t}}{e^{4}}\\\frac{-4e^{2t}}{e^{2}}\\\frac{-2e^{4t}}{e^{4}}\end{bmatrix}[/tex], men dette er altså ikke rett.


Hvor er det gått feil? Hva har jeg ikke skjønt?

[ErikAndre]

Det ser da rett ut for meg, hva er det som ikke stemmer? Du kan eventuelt skrive svaret ditt på formen

[tex]\displaystyle y(t) = \begin{bmatrix} -3e^{4(t-1)} \\ -4e^{2(t-1)} \\ -2 e^{4(t-1)} \end{bmatrix}[/tex],

men det går vel for det samme?

Edit: Denne oppgaven trenger du jo forsåvidt heller ikke løse som et system i det hele tatt, siden ingen av ligningene har noe med hverandre å gjøre. Generelt vil en differensialligning [tex]y'(t) = ay(t)[/tex] hvor [tex]a[/tex] er en konstant koeffisient alltid ha løsning på formen [tex]y(t)=ce^{at}[/tex].

[Skanin]

Det ser da rett ut for meg, hva er det som ikke stemmer? Du kan eventuelt skrive svaret ditt på formen

[tex]\displaystyle y(t) = \begin{bmatrix} -3e^{4(t-1)} \\ -4e^{2(t-1)} \\ -2 e^{4(t-1)} \end{bmatrix}[/tex],

men det går vel for det samme?

Edit: Denne oppgaven trenger du jo forsåvidt heller ikke løse som et system i det hele tatt, siden ingen av ligningene har noe med hverandre å gjøre. Generelt vil en differensialligning [tex]y'(t) = ay(t)[/tex] hvor [tex]a[/tex] er en konstant koeffisient alltid ha løsning på formen [tex]y(t)=ce^{at}[/tex].

Var det jeg kom frem til og, men systemet som skal "rette" (Möbius om du har vært borti det) vil ikke godkjenne det:

Screenshot_4.png (30.67 kiB) Vist 2245 ganger

Mulig det bare er en annen måte jeg må skrive det inn på! Takk, deilig å se at jeg ihvertfall fikk til noe, selvom det var en tungvindt og lengre måte enn jeg trengte