Markus skrev:Finn alle funksjoner $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ slik at for alle $a,b \in \mathbb{Z}$ er $f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))$
Gustav skrev:Markus skrev:Finn alle funksjoner $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ slik at for alle $a,b \in \mathbb{Z}$ er $f(2a)+2f(b)=f(f(a+b))$
Bytter vi om på $a$ og $b$ ser vi at $f(2a)+2f(b)=f(2b)+2f(a)$, dvs. at $f(2a)-2f(a)=k$ for en konstant $k$. $a=0$ gir da $f(0)=2f(0)+k$, så $k=-f(0)$ og vi har dermed at $f(2a)=2f(a)-f(0)$. Innsatt i opprinnelig ligning fås $2f(a)-f(0)+2f(b)=f(f(a+b))$. $b=0$ i denne gir $2f(a)+f(0)=f(f(a))$. La $a\to a+b$, så $f(f(a+b))=2f(a+b)+f(0)$. Innsatt i opprinnelig ligning fås følgende Cauchy-funksjonalligning: $f(a)+f(b)=f(a+b)+f(0)$ (som er ekvivalent med Cauchy ved å la $g(x)=f(x)-f(0)$), hvis eneste løsninger er på formen $f(x)=cx+f(0)$ for heltallig $c$. Settes dette inn i opprinnelig ligning finner man at $c=2$ eller $c=f(0)=0$, så de eneste løsningene er $f(x)=2x+f(0)$ for vilkårlig valgt heltall $f(0)$, eller $f(x)$ identisk lik $0$.
Edit: Andre løsninger er velkomne!
Oppfølger (IMO dag 2 problem 4): Finn alle par $(k,n)$ av positive heltall slik at $$ k!=(2^n-1)(2^n-2)...(2^n-2^{n-1})$$.
Markus skrev:I oppfølgeren, er det meningen at $k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots (2^n-2^{n-1})$ eller $k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-3)\cdots(2^n-2^{n-1})$?
Gustav skrev:Godt poeng, det skal være $k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots (2^n-2^{n-1})$
Av det jeg har sett og hørt virker Legendres formel som et standardtriks å kunne, men i følge noen av disse er jo også loven om kvadratisk resiprositet og det å arbeide i syklotomiske kropper som $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ noe man som matematikkolympiader bør vite om og kunne (nå skal det jo sies at dette kan være nyttig for å løse diofantiske likninger, det var jo det Kummer utviklet det for til å starte med), så hva som er standard eller ikke er vanskelig å vite. Nå er Legendres formel noe som er mye mer elementært enn de andre to eksemplene, og det er veldig lett å vise, så jeg tipper en gjennomsnittig IMO-deltager vet om formelen.Gustav skrev:Ser rett ut begge løsningene. Veldig braEr Legendres formel noe som er kjent for alle IMO-deltagerne, eller er dette noe som de må utlede selv?
mingjun skrev:En overraskende løsning til Bank of Bath som Magnus Hellebust Haaland (deltaker NOR1) fant under konkurransen:
Gustav skrev:Kult! Gratulerer med bronsen, veldig imponerende! (for de med adressaabonnement: https://www.adressa.no/pluss/nyheter/20 ... 547199.ece )
Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 6 gjester