2nd-order nonlinear ODE

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

2nd-order nonlinear ODE

Innlegg Janhaa » 02/07-2019 15:27

Solve:

[tex]\large y*y''=(y')^2+y'*\sqrt{y^2+(y')^2}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7828
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: 2nd-order nonlinear ODE

Innlegg DennisChristensen » 03/07-2019 19:39

Janhaa skrev:Solve:

[tex]\large y*y''=(y')^2+y'*\sqrt{y^2+(y')^2}[/tex]


Likningen kan skrives som $\left(y/y'\right)' + \sqrt{1 + \left(y/y'\right)^2} = 0.$ Om vi lar $z=y/y'$ får vi en separabel difflikning i $z$ med løsningen $z = -\sinh(x + c_1)$, der $c_1$ er en integrasjonskonstant. Vår nye difflikning $y/y' = -\sinh(x + c_1)$ er nok en gang separabel, og vi ender med at $$\log|y| = \log\left(\sinh\left(\frac{x-c_1}2\right)\right) - \log\left(\cosh\left(\frac{x-c_1}2\right)\right) + c_2,$$ der $c_2$ er en integrasjonskonstant.
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 794
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: 2nd-order nonlinear ODE

Innlegg Janhaa » 04/07-2019 08:23

DennisChristensen skrev:
Janhaa skrev:Solve:

[tex]\large y*y''=(y')^2+y'*\sqrt{y^2+(y')^2}[/tex]


Likningen kan skrives som $\left(y/y'\right)' + \sqrt{1 + \left(y/y'\right)^2} = 0.$ Om vi lar $z=y/y'$ får vi en separabel difflikning i $z$ med løsningen $z = -\sinh(x + c_1)$, der $c_1$ er en integrasjonskonstant. Vår nye difflikning $y/y' = -\sinh(x + c_1)$ er nok en gang separabel, og vi ender med at $$\log|y| = \log\left(\sinh\left(\frac{x-c_1}2\right)\right) - \log\left(\cosh\left(\frac{x-c_1}2\right)\right) + c_2,$$ der $c_2$ er en integrasjonskonstant.

bra Dennis:

mitt forslag:


[tex]\frac{(y')^2-yy"}{(y')^2}=-\sqrt{\left(\frac{y}{y'}\right)^2+1}\\

\\

\int\frac{d(\frac{y}{y'})}{\sqrt{\left ( \frac{y}{y'} \right )^2+1}}=-\int dx\\

\\

arcsinh(\frac{y}{y'})=a-x\\

\\

\frac{y'}{y}=cosech(x-a)\\
\\
\ln(y)=\ln(\coth(\frac{a-x}{2}))+\ln(b)[/tex]

[tex]y=b\cdot\coth(\frac{a-x}{2})+b[/tex]

[tex]a, b \in Z[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7828
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: 2nd-order nonlinear ODE

Innlegg josi » 04/07-2019 15:04

Hvorfor "+b" i uttrykket y=b⋅coth(a−x2)+b ?
josi offline

Re: 2nd-order nonlinear ODE

Innlegg josi » 04/07-2019 15:10

Det forsvant en brøkstrek da jeg kopierte; Det skal stå: y = b *coth(a-x)/2) +b
josi offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 10 gjester