Separabel førsteordens difflikning

[Kwerty]

Hei,

sliter med denne her:

[tex]\frac{dy}{dx} +x^2y = x^2[/tex]
Omskriver til [tex]\frac{dy}{dx} = x^2(1-y)[/tex] som blir [tex]\frac{dy}{1-y} = x^2dx[/tex]. Integrerer på begge sider: [tex]-ln(1-y) = \frac{x^3}{3}+C[/tex]. Men denne greier jeg ikke løse (ender opp med ln av negativt tall) Hva har jeg gjort feil?

[Aleks855]

Hint: $\int \frac 1y \mathrm dy = \ln|y| + C$. Ser du forskjellen og hva den utgjør for problemet ditt?

[Kwerty]

Kommer egentlig ikke noe videre av det, nei!

[Janhaa]

Kommer egentlig ikke noe videre av det, nei!

[tex](\ln(1-y))' = \frac{-1}{1-y}[/tex]

[Kwerty]

Hva hjelper det meg? Usikker på hvordan jeg skal behandle absoluttverditegnet her.

[Janhaa]

Hva hjelper det meg? Usikker på hvordan jeg skal behandle absoluttverditegnet her.

[tex]exp(\ln(1-y)) = c' *exp(-x^3/3)[/tex]

[tex]1-y = c' *exp(-x^3/3)[/tex]

etc...

[Kwerty]

Skjønner det, men når jeg prøver å løse den ender jeg opp med ln av et negativt tall!

[ErikAndre]

Skjønner det, men når jeg prøver å løse den ender jeg opp med ln av et negativt tall!

Du kan definere absoluttverdien av et tall [tex]a[/tex] som følger:

[tex]|a| = \begin{cases} a & \text{om } a \geq 0, \\ -a & \text{ellers}.\end{cases}[/tex]

Ser du nå hvordan dette hjelper på problemet ditt?

[Kwerty]

Er klar over det, men sliter med å få brukt det i praksis for en slik difflikning. Slik jeg gjør det nå, når jeg har et ln-uttrykk, er å sette konstantleddet lik +/-, og da fjerne absoluttversditegnet rundt det som tidligere var inne i ln-uttrykket. Men finnes nok en bedre metode? Er slik LF pleier å gjøre det.

[ErikAndre]

Det høres ut som om du bare bruker definisjonen av absoluttverdi? Det må du jo nesten gjøre om du skal komme deg videre. Si at du f.eks. skal regne ut
[tex]I = \int_{0}^{1} \frac{1}{x-2} \mathop{\mathrm{d}x}[/tex].
Da kommer vi frem til at
[tex]I = \ln{|1-2|} - \ln{|-2|} = \ln{1} - \ln{2} = - \ln{2}[/tex].