Kontinuerlig funksjon

[Kay]

Har ikke begynt å studere enda sånn formelt, men så litt på en øving som grunnkurs i analyse 1 har, og kom borti en oppgave jeg lurer på åssen en ville ha gått fram for å løse.

Den lyder følgende:

Bestem verdien av [tex]k \in \mathbb{R}[/tex] slik at

[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2, & x\leq 2 & \\ k-x^2,& x>2 \end{matrix}\right.[/tex]

Definerer en kontinuerlig funksjon [tex]\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex]

Er klar over at dette er en pågående øving for de som studerer faget, så hvis noen har en løsning, men ikke ønsker å poste den (slik at folk har et LF sånn uten videre), så kan vedkommende gjerne sende en PM. Takk

[Gjest]

Funksjonen [tex]f[/tex] er kontinuerlig i [tex]x=2[/tex] hvis og bare hvis
[tex]f(2)=\lim_{x\rightarrow 2}f(x)[/tex] og grenseverdien [tex]\lim_{x\rightarrow 2}f(x)[/tex]
eksisterer.
At denne grenseverdien eksisterer betyr at [tex]\lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)[/tex].

Dermed gjør vi følgende:

[tex]f(2)=2^2=4[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^+}(k-x^2)=k-4[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^-}x^2=4[/tex]

Grenseverdien må eksistere for at funksjonen skal være kontinuerlig i [tex]x=2[/tex]. Dermed har vi at:

[tex]\lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)[/tex]

[tex]k-4=4[/tex]

[tex]k=8[/tex]

Konklusjonen er dermed at [tex]k=8[/tex] for at funksjonen er kontinuerlig.

[Kay]

Å, det var ikke verre enn det? Takk skal du ha for en detaljert forklaring.

[Markus]

Hvis du ønsker å være absolutt stringent, må du nok vise at både at grenseverdien $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$ og $\lim_{x \to 2} 8 - x^2 = 4$ eksisterer ved hjelp av $\epsilon-\delta$, men dette er en smal sak.

Første grenseverdi: La $\epsilon, \delta > 0$, og anta wlog at $|x-2|<1 \therefore x \in (1,3) \therefore |x+2|<5$. Nå er $|f(x)-L|=|x^2-4|=|(x+2)(x-2)|<5|x-2|<\epsilon$ dersom $|x-2|<\delta$ og vi velger $\delta = \min \left (\frac{\epsilon}{5},1 \right)$.

Den andre grenseverdien har ekvivalent fremgangsmåte fordi $|f(x)-L|=|8-x^2-4|=|-x^2+4|=|-1||x^2-4|=|x^2-4|$.

Anbefaler deg å gjøre mange $\epsilon-\delta$-bevis, da det danner grunnlaget for en stor mengde av analyse. Forresten, lykke til i militæret når enn du har innrykk!