Markus skrev:Nok en gang - tusen takk for grundig hjelp! Etter du har vist at $\int_{\gamma^+(0,\epsilon)} = -\pi i$, så er mer eller mindre resten elementær algebra. $$\text{Im} \oint_{\gamma} \frac{e^{iz}}{z} \, \text{d}z = \text{Im} \left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iz}}{z} \, \text{d}z + \int_{\gamma^+(0,R)} \frac{e^{iz}}{z} \, \text{d}z + \int_{\gamma^+(0,\epsilon)} \frac{e^{iz}}{z} \, \text{d}z \right) = 0 \implies \text{Im} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iz}}{z} \, \text{d}z = -\text{Im} \left( \int_{\gamma^+(0,R)} \frac{e^{iz}}{z} \, \text{d}z + \int_{\gamma^+(0,\epsilon)} \frac{e^{iz}}{z} \, \text{d}z \right) = \pi$$ Det lemma der virker ganske kraftig det, men det og beviset er nok et par hakk over mitt hode enda. Hva menes for eksempel med punktert disk? Enn så lenge så får det holde å bare bruke det lemma for det det er verdt
En punktert disk er ikke annet enn en disk hvor vi har fjernet dets sentrum. Merk deg at jeg skrev $D'(a,\delta) = \{ z \in \mathbb{C}\, | \, 0 < |z-a| < \delta\}$. Om du prøver å tegne denne figuren forstår du nok geometrien litt bedre.
Riktignok inneholder nok beviset fortsatt noen definisjoner og resultater du ikke er helt kjent med, spesielt angående egenskapene til kompakte mengder og kontinuerlige funksjoner. Dette blir ofte innført i et kurs om
metriske rom. Les mer om dette nedenfor. Poenget er bare å kunne si at funksjonen $|h|$ må være oppad begrenset på et område rundt punktet $a$. Etter dette brukes bare estimasjonsteoremet, så du burde klare å følge resten av beviset uten problemer.
Markus skrev:Forresten, er residyteoremet og det relaterte noe en lærer om i introfag i kompleks analyse eller er det typisk i de viderekommende kursene? Hva er rekkefølgen som regel i veldig korte trekk?
Residyteoremet er definitivt ikke det første man lærer i kompleks analyse, så det er forståelig at du ikke forstår alt som foregår i slike bevis. Jeg støtter likevel ditt ønske om å prøve deg på dem, ettersom det kommer til å gi deg en god motivasjon til å studere mer. Det kan fort virke overraskende at kompleks analyse lar oss evaluere integraler over $\mathbb{R}$, så det er fint å se i forkant at dette er en av fagets mange styrker.
For å kunne gjennomgå et skikkelig kurs i kompleks analyse trenger du forkunnskaper om to temaer:
- Reell analyse
- Metriske rom
Reell analyse er studiet av de relle tallene $\mathbb{R}$, og så funksjoner $\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}$, eller $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$. Et grunnkurs i reell analyse kan som regel deles opp i tre mindre deler igjen:
- Følger og rekker
- Kontinuitet og deriverbarhet
- (Riemann)-integrasjon
Alle tre delene er viktige og hører sammen. For eksempel brukes ofte egenskaper til følger til å bevise egenskaper til kontinuerlige funksjoner.
Noe man etterhvert merker er at det ikke er altfor mange forskjeller mellom studiet av kontinuerlige funksjoner på den reelle aksen og på det komplekse planet. Mange av definisjonene og resultatene kan generaliseres (noe som er begynnelsen på metriske rom og topologi), men på en annen side er
deriverbarhet to veldig forskjellige fenomener, avhengig om man jobber i $\mathbb{R}$ eller $\mathbb{C}$. For å kunne studere deriverbare funksjoner i $\mathbb{C}$ skikkelig, forventer man å trenge en mer geometrisk forståelse av $\mathbb{C}$, nettopp fordi det komplekse planet er et mer sofistikert geometrisk objekt enn den reelle aksen. Merk deg også at algebraen i $\mathbb{C}$ er koplet sammen med geometrien - tallet $i$ forteller oss trossalt hvordan vi roterer med $90^{\circ}$. For å oppnå en bedre geometrisk forståelse av komplekse funksjoner, samt generalisere flere av definisjonene fra reell analyse, studerer vi
metriske rom.
Metriske rom gir oss en mer generell forståelse av begreper som
lengde og
distanse, og lar oss abstrahere slike konsepter og studere deres generelle egenskaper, istedenfor bare å fokusere på ett spesifikt geometrisk objekt (slik man gjør i reell analyse). Her introduseres begreper som
åpne, lukkede, komplette, sammenhengende og
kompakte rom, noe som brukes i flere bevis innen kompleks analyse. I tillegg generaliseres begrepet kontinuitet, basert på begrepene ovenfor, og man studerer hvordan kontinuerlige funksjoner oppfører seg på disse forskjellige typer mengdene.
Når man så skal begynne på kompleks analyse trenger man først å undersøke generelle egenskaper til holomorfe funksjoner (som Cauchy-Riemann-likningene osv), og å utvide standardfunksjonene fra $\mathbb{R}$ til $\mathbb{C}$ (til den komplekse logaritmen, komplekse eksponentialfunksjoner osv). Deretter bevises Taylors teorem for komplekse funksjoner, som forteller oss at holomorfe funksjoner oppfører seg langt bedre enn reelle deriverbare funksjoner, og at kompleks analyse derfor på mange måter er "lettere" enn rell analyse. Faget tar så en brå vending med Cauchys teorem, som legger grunnlaget for nært sagt all integrasjon i kompleks analyse. Man beviser fra dette flere store teoremer, som Moreras teorem, identitetsteoremet, Cauchys integralformel, Laurants teorem, Cauchys residyteorem osv. Til slutt ser man gjerne på anvendelser av Cauchys residyteorem til integraler over $\mathbb{R}$.
Det er selvsagt mange andre stier man kan ta i et kurs i kompleks analyse, og flere andre veier å ta faget videre. Kompleks analyse åpner for studiet av Möbius-avbildinger, og mer generelt, konforme avbildinger. Man kan studere mer avanserte geometriske rom, som ikke har noen veldefinert global kompleks analyse, men derimot åpner for lokal analyse (Riemann-flater og flerdimensjonale komplekse mangfoldigheter). Kompleks analyse brukes hyppig i flere andre områder innen matematikk, som eksempelvis geometrisk og analytisk tallteori, funksjonsanalyse og flere andre. Faget står også sentralt innen fysikk, spesielt innen fluiddynamikk.
