Kontinuerlig?

[Anonymbruker255]

https://imgur.com/a/GT3tTXQ

Det er vel ikke nok å sjekke at lim (x, 0) -> (0, 0) = 0 og at lim (0, y) -> (0,0) = 0 ?
Noe slikt gjorde vi med funksjoner av en variabel? Men dette er vel ikke et bevis for at funksjonen er kontinuerlig?

[Astal]

Bruk kulekoordinater, og la r gå mot 0.

I mange tilfeller, inkludert dette, vil du da kunne stryke r over og under, og du står igjen med et uttryk av cos og sin, som gjør at grenseverdien må eksistere

[DennisChristensen]

Som du har påpekt er det ikke nok å sjekke om $$\lim_{y\rightarrow 0} f(0,y) = \lim_{y\rightarrow 0} f(x,0).$$ Vi er nødt til å verifisere at grenseverdien eksisterer uansett fra hvilken retning vi ankommer origo. Om vi ankommer origo langs linja $y=x$ ser vi nemlig at $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) \text{ langs }y=x}f(x,y) = \lim_{t\rightarrow 0} f(t,t) = \lim_{t\rightarrow 0} \frac{t^2}{t^2 + t^2 + t^2} = \lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{3t^2} = \frac13,$$ så grenseverdien $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$ eksisterer ikke.

Bruk kulekoordinater, og la r gå mot 0.

I mange tilfeller, inkludert dette, vil du da kunne stryke r over og under, og du står igjen med et uttryk av cos og sin, som gjør at grenseverdien må eksistere

Dette er feil. Dersom du bruker polarkoordinater, lar $r\rightarrow 0$ og ender med et uttrykk som avhenger av vinkelen $\theta$, viser dette at grenseverdien ikke eksisterer, nettopp fordi den avhenger av $\theta$, altså hvilken retning vi ankommer origo. I dette eksempelet vil du se at dersom du setter $\theta = 0$ får du én grenseverdi (nemlig $0$), men om du setter $\theta = \frac{\pi}{4}$ får du en annen (nemlig $\frac13$).

[Anonymbruker225]

Meget oppklarende DennisChristensen

Så i slike tilfeller som dette lønner det seg å se på grenseverdien når linja y = x ankommer origo?

[DennisChristensen]

Meget oppklarende DennisChristensen

Så i slike tilfeller som dette lønner det seg å se på grenseverdien når linja y = x ankommer origo?

Det kommer helt an på funksjonsuttrykket. Poenget er at grenseverdien ikke eksisterer fordi den avhenger av i hvilken retning vi ankommer origo.

[Gjest]

Dennis, jeg prøvde meg på den samme oppgaven og brukte polarkoordinater, og kom frem til samme konklusjon som du skrev.

Er denne måten (polarkoordinater, også drøfte basert på uttrykket som faller ut med theta) en like fullgod metode som den du presenterer i det første innlegget ditt?

Den metoden du bruker der har jeg sett ofte bli brukt til å løse slike oppgaver, men det er ikke alltid jeg ser den med engang i slike oppgaver. Har også sett andre oppgaver hvor det foreslås å sette f.eks. [tex]y=k\cdot x^2[/tex], basert på det gitte funksjonsuttrykket som du også nevnte.

[DennisChristensen]

Dennis, jeg prøvde meg på den samme oppgaven og brukte polarkoordinater, og kom frem til samme konklusjon som du skrev.

Er denne måten (polarkoordinater, også drøfte basert på uttrykket som faller ut med theta) en like fullgod metode som den du presenterer i det første innlegget ditt?

Ja, dersom du viser at to ulike valg av $\theta$ vil føre til to ulike grenseverdier.

Den metoden du bruker der har jeg sett ofte bli brukt til å løse slike oppgaver, men det er ikke alltid jeg ser den med engang i slike oppgaver. Har også sett andre oppgaver hvor det foreslås å sette f.eks. [tex]y=k\cdot x^2[/tex], basert på det gitte funksjonsuttrykket som du også nevnte.

Dersom man ikke umiddelbart finner noen enkle retninger som separerer ut to forskjellige grenseverdier, kan absolutt polarkoordinater hjelpe i slike oppgaver. Merk deg at hvis du faktisk beviser at grenseverdien ikke avhenger av $\theta$, men er konstant, har du faktisk vist at grenseverdien eksisterer, og dermed at $f$ faktisk er kontinuerlig i det gitte punktet.