metoden med fullstendig kvadrat

[joinertuy]

Hei, jeg sliter litt med å komme igang med fullstendige kvadrater og sitter litt fast på denne oppgaven her.
Jeg har sett noen lure på akkurat den samme oppgaven men jeg skjønte ikke helt fremgangsmåten,

x^2 + x - 2

k = 1/2^2 = 1/4 ? men jeg kommer ikke noe særlig lenger enn dette. kan noen hjelpe meg litt med hvordan jeg skal gjøre dette ?

[Leonhard_Euler]

Jeg er ikke så flink på matte, men løsningen min ser riktig ut.

x^2+x-2 = -x^2-x+2 (ganget med -1)

Legg til og trekk fra k:
k=1/4 eller 0,25

(-x^2-x-0,25) +0,25+2

Hensikten med dette er at du skal kunne faktorisere en del av likningen.
Her så har vi plusset og minuset samme tallet, så vi har plusset på 0 og vi har organisert likningen på en annen måte. For eksempel, vi har skrevet +2 helt på slutten.

= (-x^2-x-0,25) +2,25
=(-x^2-x-0,25) = -2,25
= -1(x^2+x+0,25) = -2,25
= x^2+x+0,25 = -2,25/-1
= x^2+x+0,25 = 2,25

Faktoriser venstre siden:

= (x+0,5)^2 =2,25
= (x+0,5)^2 -2,25 = 0
= (x+0,5)^2 - 1,5^2 (skrev 2,25 som 1,5^2)

Bruk tredje kvadrat setning (konjugatsetning): a^2-b^2 = (a+b)(a-b)
Her er a=(x+0,5) og b=1,5

Vi får:
((x+0,5)+1,5) ((x+0,5)-1,5) = 0

Nå er det ganske lett å løse denne likningen.

Her er en annen forklaring på metoden med fullstendige kvadrater, dersom noe var uklart. De løser også samme oppgaven.
https://www.matematikk.org/oss.html?tid=88832

[hco96]

Vi har [tex]x^2 +x -2 = x^2 +x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 2[/tex]
så [tex]x^2 +x -2 = (x+\frac{1}{2})^2 -2 -\frac{1}{4}[/tex].

Dermed er [tex]x^2 +x -2= (x+\frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}[/tex].

[kreativitetNO]

Det beste er jo å skjønne metoden ordentlig:

Du vil skrive om:
x^2+x-2

Hva med å prøve:
(x+1)^2

Det blir:
x^2+2x+1

Ikke helt det du ville. Hva med:
(x+1/2)^2

Det gir:
x^2+x+1/4

Det er jo nesten bra, men vi har 9/4 for mye så da trekker vi fra det:
x^2+x-2 = (x+1/2)^2-9/4

Da kan vi jo ta det generelt istedenfor:
a(x^2)+bx+c = (x+d)^2+e

(x+d)^2 blir:
x^2+2dx+d^2

Og vi liker ikke den a'en så vi deler venstresiden med a:
(x^2)+(b/a)x+(c/a) = x^2+2dx+d^2+e

Hvorfor hjelper det?

Vel. Begge sider har jo (x^2) så den er lik på begge sider, men det som står foran x-leddet er forskjellig:
(b/a)x=2dx

Med andre ord:
(b/a) = 2d eller d=(1/2)*(b/a)

Og konstantleddet:
(c/a) = d^2+e eller e = (c/a)-d^2

Så går vi tilbake til orginalproblemet som var å finne en fullstendig kradrat fra x^2+x-2. Her er a lik 1, b = 1 og c = -2. Hvis vi setter disse direkte inn i definisjonen av d, får vi:
d=(1/2)*(1/1)=1/2

Så setter vi inn dette i definisjonen av e:
e = (-2/1)-(1/2)^2 = -2-1/4 = -9/4

Og da får vi når vi setter alt tilbake i vår generelle formell i starten, (x+d)^2+e:
(x+1/2)^2-(9/4)